小孩拉玩具问题.doc

小孩和玩具的问题 题目. 一个小孩借助长度为a的硬棒，拉或推某玩具.此小孩沿某曲线行走，计算并画出玩具的轨迹. 解：假设小孩拉的玩具如图1所示，由于整个推拉过程中（图2），玩具走的轨迹，只与C在地面上的投影点B的轨迹有关。所以我们把模型简化为图3。 假设1：小孩B点所走曲线为沿着小 棒a的方向（直线AB），则玩具A走的轨 迹为直线（沿AB方向的）。此时，小孩行 走的速度与玩具的速度相同。 假设2：小孩B点所走曲线为一个A点 为心的圆，则玩具不动。此时，如果小孩B 行走的速度为v，而玩具A的速度却为零， 这说明，在推玩具的过程中，小孩B的速度 与玩具A的速度不同。 由此特殊情况，我们可以看到，当小孩B行走的路线是曲线时，小孩B的速度与玩具A的速度是不同的。 假设3：如果小孩B点走的轨迹是一条曲线c（图4 ），不妨设曲线的轨迹方程是一个与时间t有关的参数方程。而玩具A走的轨迹为曲线c′。 则t时刻小孩的坐标为， 玩具的坐标为。 t时刻，由于的距离为a，由于小孩拉的是硬棒，在小孩拉玩具的过程中，假设棒与地面的角度不变，因此有： ， 即 （1） 设玩具在A(点的速度，则的方向应为玩具所走曲线c(的切线方向，而玩具始终是沿着小棒A(B(的方向，所以： (( 而 所以： 又，由向量知识有 简化得： 故有， 化简得 。 小孩所走曲线为一个以原点为圆心半径为R的圆时，小孩所走路径的曲线方程为： ， 利用MATLAB软件求解上述微分模型，程序如下： 函数文件： 建立函数文件fun5.m function dy=fun5(t,y) dy=[(-5*sin(t)*(5*cos(t)-y(1))+5*cos(t)*(5*sin(t)-y(2)))*(5*cos(t)-y(1))./((5*cos(t)-y(1))^2+(5*sin(t)-y(2))^2), (-5*sin(t)*(5*cos(t)-y(1))+5*cos(t)*(5*sin(t)-y(2)))*(5*sin(t)-y(2))./((5*cos(t)-y(1))^2+(5*sin(t)-y(2))^2)] 主程序： clear,clc close all [t,y]=ode45(fun5,[0,100],[10,0]); X=5*cos(t); Y=5*sin(t); figure(1) plot(X,Y,r.) hold on plot(y(:,1),y(:,2),*) %玩具的初始位置为(12,0) t0=0;tf=100; [t,y]=ode45(fun5,[t0,tf],[12,0]); X=5*cos(t); Y=5*sin(t); figure(2) plot(X,Y,r.) hold on plot(y(:,1),y(:,2),*) %玩具的初始位置为(8,0) t0=0;tf=100; [t,y]=ode45(fun5,[t0,tf],[8,0]); X=5*cos(t); Y=5*sin(t); figure(3) plot(X,Y,r*) hold on plot(y(:,1),y(:,2),.) C 图 2 B A 图 1 A a 图 3 图4