小波分析之泛函分析赋范内积空间.ppt

赋范线性空间,内积空间 范数与赋范线性空间 ??设X是实(或复)线性空间，如果对于X中每 个元素x，按照一定的法则对应于实数||x||， 且满足： ??||x||≥0，||x||=0当且仅当x=0; ??||ax||=|a|||x||，a是实(或复)数; ??||x+y||≤||x|| + ||y||. 则称X是实(或复)赋范线性空间，||x||称为x的 范数. 范数、距离之间的关系 由每一范数可以导出一距离： 当距离空间满足 (1)是线性空间, (2) (3) 时,才可用距离定义范数： C[a,b]的距离与范数 C[a,b] 的约定的距离 是由范数 决定的. Lp[a,b]的距离与范数 对于任实数 Lp[a,b]表示区间[a,b]上 绝对值的p次幂L可积函数的全体，并把几乎 处处相等的函数看成是同一个函数,即 Lp[a,b]上的距离为 其特例为L[a,b] , L2[a,b]. Lp[a,b]的距离与范数 Lp[a,b]上的距离 是由范数 决定的.其特例L[a,b] , L2[a,b]亦然. 的距离与范数 表示满足 的实数列(即平方可和数列) 的全体， 上 的距离 是由范数 决定的。 Banach空间 若赋范线性空间按距离 是完备的，则称为Banach空间. n维Euclid空间Rn是Banach空间. C[a,b]是Banach空间. Lp[a,b] (p≥1)是Banach空间. 是Banach空间. 按范数收敛(强收敛) 按范数收敛即按范数决定的距离的收敛， 又称强收敛. 不同范数的等价性 设 是同一线性空间上的两种不同 的范数,若 则称 线性空间的维数 若线性空间X 中存在n 个线性无关的 元素e1,e2,…,en,使得任意的x∈X都可以 唯一的表示为 则称{e1,e2,…,en}是x的基底，数组{x1,x2,…,xn}是x关于基底的坐标，n是 线性空间的维数. 线性空间的维数 有限维线性空间与Euclid空间是线性同构的. 有限维赋范线性空间上的范数定义是等价的. 有限维赋范线性空间是完备，可分的. 例子：Ck[a,b]是Banach空间 ??Ck[a,b]表示定义在区间[a,b]上k阶连续可导的函数全体. Ck[a,b]上的范数为 赋范线性空间上的算子 设T是由赋范线性空间X中的某个子集D到 赋范线性空间X1中的一个映射,则称T 是算子. D是T 的定义域，记为D(T)， 像集{y | y=Tx, x∈D}是T 的值域,记为N(T). 若T满足 ??可加性：T(x+y)=Tx+Ty ??齐次性：T(ax)=aT(x) 则称T为线性算子. 若存在正数M使得对于一切x∈D(T)，有||Tx|| ≤M||x||，则T是有界算子. 线性算子的性质 线性算子若在某一点处连续，则也在定义域上处处连续. T是有界线性算子等价于T是连续线性算子. T有界的充要条件是T把任一有界集映成有 界集. 有界线性算子空间 设X 和X1都是赋范线性空间,所有从X到 X1的有界线性算子形成的集合记为B(X, X1). 在B(X, X1)上定义加法和数乘运算： (T1+T2)x=T1x+T2x (T1,T2 ∈B(X, X1)，x∈X). (aT)x=a(Tx) (T∈B(X, X1)，a是实数). 有界线性算子空间 定理： B(X, X1)按照以上定义的线性运 算是一个线性空间,且在如下定义的算子范数 下构成赋范线性空间. 有界线性算子空间 定理： 若X是Banach空间，则B(X, X1)也是 Banach空间. T为线性算子，则T有界的充要条件为 有界. 共鸣定理 设X 和X1都是赋范线性空间, 且X是Banach 空间. {Tn}是从X 到X1的线性算子序列, 则对任意x∈X，{Tnx}有界的充要条件为 有界。(证明从略) 此定理又称为一致有界定理. 共鸣定理的意义即:对于线性算子序列，若代入每一个值都有界，则有界线性算子序列本身有界。 有界线性算子空间 定理： 可逆有界线性算子的逆算子仍是线性算子. 有限维赋范线性空间的一切线性算子都有界(连续). 泛函 当算子的像集为实（或