微积分之幂级数课件.ppt

第三节 一、函数项级数的一般概念 例如, 等比级数 二、幂级数及其收敛性 例2.求幂级数 提示:（3） 三、幂级数的运算 说明: 定理4 若幂级数 例5. 例6. 例7. 求级数 例9. 内容小结 答: 不能. 4. 求极限 作业 阿贝尔(1802 – 1829) 因此由和函数的连续性得: 而 及 解 两边积分得 思考：如何求级数的 和函数。 解 收敛区间(-1,1), 解: 设 则 而 故 1. 求幂级数收敛域的方法 1) 对标准型幂级数 先求收敛半径 , 再讨论端点的收敛性 . 2) 对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式) 求收敛半径时直接用比值法或根值法, 2. 幂级数的性质 两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与 复合式可通过换元化为标准型再求 . 乘法运算. 2) 在收敛域内幂级数的和函数连续; 3) 幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分. 思考与练习 1. 已知 处条件收敛 , 问该级数收敛 半径是多少 ? 答: 根据Abel 定理可知, 级数在 收敛 , 时发散 . 故收敛半径为 2. 在幂级数 中, n 为奇数 n 为偶数 能否确定它的收敛半径不存在 ? 因为 当 时级数收敛 , 时级数发散 , 不一定. 例 它们的收敛半径都是1, 但它们的收敛域各是 3. 幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那么它的收敛域是否也不变？ 其中 解: 令 作幂级数 设其和为 易知其收敛半径为 1, 则 * 第十二章 * 一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算 幂级数 1.定义: 2.收敛点与收敛域: 函数项级数的部分和 余项 (x在收敛域上) 注意 函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题. 3.和函数: (定义域是?) 它的收敛域是 它的发散域是 或写作 有和函数 解 由达朗贝尔判别法 原级数绝对收敛. 原级数发散. 收敛; 发散; 形如 的函数项级数称为幂级数, 其中数列 下面着重讨论 例如, 幂级数 为幂级数的系数 . 即是此种情形. 的情形, 即 称 证明 证明 即级数 绝对收敛 由(1)结论 几何说明 收敛区域 发散区域 发散区域 推论 规定 问题 如何求幂级数的收敛半径? 开区间 叫做幂级数 的收敛区间. 定义: 正数R称为幂级数 的收敛半径. 收敛域可能是 收敛区间是含在收敛域内的最大开区间。 证明 （1）由比值审敛法, 定理证毕. 对端点 x =－1, 的收敛半径及收敛域. 解: 对端点 x = 1, 级数为交错级数 收敛; 级数为 发散 . 故收敛域为 所以R=1 例3 求下列幂级数的收敛域: 发散 收敛 故收敛域为(0,1]. 解 缺少偶次幂的项 级数收敛, 级数发散, 级数发散, 级数发散, 原级数的收敛区间和收敛域为 课堂练习： 的收敛半径 . B 的收敛半径 . 解: 级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2, 比值审敛法求收敛半径. 时级数收敛 时级数发散 故收敛半径为 故直接由 定理3. 设幂级数 及 的收敛半径分别为 令 则有 : 其中 两个幂级数相除所得幂级数的收敛半径可能比 原来两个幂级数的收敛半径小得多. 例如, 设 它们的收敛半径均为 但是 其收敛半径只是 的收敛半径 (证明见第六节) 则其和函 在收敛域上连续, 且在收敛区间内可逐项求导与 逐项求积分, 运算前后收敛半径相同: 注: 逐项积分时, 运算前后端点处的敛散性不变. 解: 该级数的收敛半径 R＝+∞. 则 故得 的和函数 . 因此得 设 的和函数 解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 , x＝±1 时级数发 散, 的和函数 解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 , 及 收敛 , * * * *