拉式变换课件.ppt

第3讲 拉普拉斯变换（4学时） Laplacian Transformation 引言 上一章建立了系统的线性微分方程模型; 微分方程的解是什么形式？ 是一个函数， 其意义是输出 y(t) 关于输入 x(t) 的函数。 系统分析 = 求解微分方程 如何求解微分方程？(高等数学中如何求解？） 第3讲 Laplacian Transformation 微分方程在时域内通过手算来求解非常繁琐； 本讲引入拉氏变换这一数学工具，将微分方程的求解转换为代数方程求解与查表相结合的运算，大大简化求解过程。 拉氏变换衍生出传递函数概念，以复数域函数形式描述元件或系统的输出变量和输入变量之间的关系。 传递函数描述的系统可以方便的用动态结构图和信号流图来表示系统内部变量之间存在的传递关系，更便于求解和分析理解系统。 对于函数 f (t) ，如果满足下列条件 （1）当 时， ; 当 时， 在每个有限区间上是分段连续的。 （2） ，其中 为正实数，即 为有界的；则可定义 的拉氏变换 ： 式中，s为复数变量； 为原函数； 为象函数。 时的拉氏变换又称为单边拉氏变换； 单边拉氏变换的收敛域（定义域）： 信号 (衰减因子），满足绝对可积条件， 则函数 在σσ0范围内收敛。 （1）有始有终，能量有限信号（有界非周期信号），拉氏变换一定存在。当σ0＝－∞ ，全s平面收敛。 (2) 信号幅度既不增长也不衰减（稳定值），拉氏变换一定存在，σ0＝0 ，s 右半平面收敛。 例：f(t) = 1(t) f(t) = t f(t) = tn f(t) = eat 不能进行拉氏变换, 找不到收敛坐标。 求拉氏变换的方法； 熟记简单函数的拉氏变换； 用拉氏变换求解常微分方程； 理解拉氏变换的重要价值。 求拉氏变换两种主要方法 利用定义式直接积分求得； 根据已经求得的简单函数的拉氏变换，并利用拉氏变换的性质，求解由简单函数构成的较复杂函数的拉氏变换; 3.1.1 常用典型简单函数 单位脉冲函数(impulse ) 且 脉冲函数表示作用时间短而能量有限的物理量，如冲击、弹性碰撞等。 单位阶跃函数(unit step function ) 1(t) 幅值突然发生改变（从0突然变成1）的物理量 单位斜坡函数(unit ramp function) 随时间变化的信号 等加速度函数(parabolic function抛物线函数) 正弦函数(sinusoidal function) 信号大小与方向交替发生变化的物理量 例1：典型函数的拉氏变换 单位阶跃函数 单位斜坡函数 等加速度函数 例1：典型函数的拉氏变换 t的正幂信号tn,（n为正整数） 例1：典型函数的拉氏变换 指数函数(exponential function) 正弦函数 余弦函数 表3―1 常用信号及其拉氏变换 续 3.1.2 拉普拉斯变换的基本性质 (一)、线性（叠加性、均匀性） 若 则： 例： 3.1.2 拉氏变换的性质 (二)、 时域微分(differentiation)的拉氏变换 证明:根据拉氏变换定义 3.1.2 拉氏变换的性质 当 f(0)=f ’(0)=…f（n-1）(0)=0，则有： 3.1.2 拉氏变换的性质 例2：单位脉冲函数定义式为： 由于其在零时刻发生突变，而其他时刻的 函数值均为零，故可以将其视为单位阶跃 函数的导数，于是根据微分性质有： 3.1.2 拉氏变换的性质 对于脉冲函数而言，其特性的变化主要体现在 区间，故以后不加声明均认为拉氏变换的积分下限是0-，即为0-型变换； 采用0-型变换，意味着外作用尚未加于系统时，系统所处的状态是易于知道的，因此初始条件也比较容易确定。 例：