拉格朗日插值在工程的应用.doc

拉格朗日插值在工程的应用 作业人姓名1 前言2 算法描述 1、基本概念 已知函数y=f(x)在若干点的函数值=（i=0,1,,n）一个差值问题就是求一“简单”的函数p(x)：p()=,i=0,1,,n, (1) 则p(x)为f(x)的插值函数，而f(x)为被插值函数会插值原函数，，，，...,为插值节点，式（1）为插值条件，如果对固定点求f()数值解，我们称为一个插值节点，f()p()称为点的插值，当[min(，，，...,)，max(，，，...,)]时，称为内插，否则称为外插式外推，特别地，当p(x)为不超过n次多项式时称为n阶Lagrange插值。 Lagrange插值公式 （1）线性插值 设已知 ， 及=f() ,=f(),为不超过一次多项式且满足=,=,几何上，为过（，），（，）的直线，从而得到 =+（x-）. （2） 为了推广到高阶问题，我们将式（2）变成对称式 =（x）+(x). 其中， （x）=,(x)=。均为1次多项式且满足 （x）=1且(x)=0。或（x）=0且(x)=1。 两关系式可统一写成= 。 （3） （2）n阶Lagrange插值 设已知，，，...,及=f()(i=0,1,.....,n),为不超过n次多项式且满足（i=0,1,...n）. 易知=（x）+....+. 其中，均为n次多项式且满足式（3）（i,j=0,1,...,n）,再由（ji）为n次多项式的n个根知=c.最后，由 c=,i=0,1,...,n. 总之，=，=式为n阶Lagrange插值公式，其中，（i=0,1,...n）称为n阶Lagrange插值的基函数。 3，Lagrange插值余项 设，，，...,[a,b],f(x)在[a,b]上有连续的n+1阶导数，为f(x)关于节点，，，...,的n阶Lagrange插值多项式，则对任意x[a,b], 其中，位于，，，...,及x之间（依赖于x），(x)= 2.2算法的思想 在资源评估过程中，当测量次数确定为j=0,1,2，…，n时，将测量到同一种不同大小的鱼类样品对应的体长与体重数据（），其中表示第j条鱼的体长， 表示第j条鱼的体重，即求n次多项式（x），使满足条件 （）=，j=0,1,2，…，n （1）（它们互不相同，若测量中有相同的体长值归为一组数值）称为插值节点。用几何的语言来表达这类插值，就是通过体长与体重关系曲线y=f（x）上给定的n+1个点（），j=0,1,2，…，n，求做一条n次代数曲线y=（x）作为y=f（x）的近似。解决这个问题先从构造插值基函数入手。这里的插值基函数（x）（k=0,1,2，…，n）是n次多项式，且满足条件 （）==，（2） 这表明除以外的所有节点都是（x）的零点，故（x）=c。（4） 利用插值基函数容易得出方程（1）得解（x）=（x）=，（5） 通过这个方程，我们可以从同一种鱼类对应体长求得相应较为精确的近似体重。 1.2数据处理 公式5形式对称，结构紧凑，所以很容易通过VB,C语言编写计算程序。图一是这个方程的算法流程图，图1看出，本算法是逻辑结构上表现为二重循环，内循环（j循环）累乘得（x），然后再通过外循环（k循环）累加得体重y。 1.3插值函数（x）代替原来鱼类复杂的体长与体重函数f（x），做法是否有效，应视误差是否满足精度要求，在某种鱼的体长范围内测体长值为，，…，，而精确的体长与体重函数f（x）在这个范围内直到n+1阶导数。则有f（x）*（x）= (x)=￡在所测鱼类体长值的范围内。结合已测3组体长与体重测量值（，）（，）（，）的情况下，对余项公式（6）进行整理： y-（）。（7） 开始 结束 ↓ ↑ 输入体长值x ↓ 输出体重y ↓ ↑ ↓ ↓ ← k=n？ 0→y，0→k， ↓ ↑ ↓ ← k+1→k ← y+t*→y 1→k ↑ ↓ *t→t，j=0，，…，k-1，k+1, ，…，n 3 算法仿真 1982年北部湾蓝圆鲹体长和体重的实测结果（