捕食者-被捕食者模型中参数估计的新方法.ppt

捕食者-被捕食者模型中参数估计的新方法 陈东彦 哈尔滨理工大学 2011年6月25号 2011年8月 引言 在航天器精确制导等高科技问题中，必须高 精度地估计模型中的参数，建立高精度的数学模型。 本文以2006年全国研究生数学建模竞赛B题为背 景，研究了捕食者-被捕食者模型的高精度参数估 计问题。该问题已得到多方面的研究： （Varah）从数值计算的角度给出参数估计的两阶段最小二乘法。 （马新生）进一步讨论参数估计的两阶段最小二乘法。 （Bock）利用改进的高斯迭代法求解模型参数。 （Jerome）直接考虑参数的非线性最小二乘估计，利用信赖域方法求解参数估计的非线性优化问题。 （Liang）基于局部平滑法，利用回归分析给出一种伪最小二乘估计。 （Miao）基于非线性最小二乘估计，讨论不同的全局优化求解方法对估计的影响，并给出模型选择和推断的方法。 本文基于该模型，对四种不同条件下的参数估计问题进行了研究。对于观测数据有误差的情形，采用（Varah、马新生）两阶段估计方法的思想，提出了一种基于回归分析和数值微分方法的两阶段参数估计法，得出了参数的估计及置信区间，并且这种方法数学结构简单，计算量较小。 问题描述 捕食者-被捕食者模型是指一个生态系统中含有两种生物：A生物和B生物，其中A生物是捕食者，B生物是被捕食者。假设 时刻捕食者A的数目为 ，被捕食者B的数目为 ，它们之间满足以下变化规律： （1） 其中， 为模型的待定参数。 初始条件为： 通过对这个生态系统的观测可以得到若干组捕食者和被捕食者在 时刻各自数目的观测数据（具体可见2006年全国研究生数学建模竞赛B题中数据文件DATA1.TXT、DATA2.TXT、DATA3.TXT和DATA4.TXT）。利用有关数据，解决以下参数估计问题： 问题1：在观测数据无误差且已知 的情况下，利用数据文件DATA1.TXT，求其它5个参数 。 问题2：在观测数据无误差但 未知的情况下，利用数据文件DATA1.TXT，讨论为确定参数 所需的最少观测数据组数。 问题3：在观测资料有误差（时间变量不含有 误差）的情况下，分别利用观测数据DATA2.TXT和 DATA3.TXT，确定参数 的最优解，并与仿真结果进行比较。 问题4：在观测资料的时间变量也含有误差的情况下，利用数据DATA4.TXT，确定参数 的最优解。 参数估计 问题1.观测数据无误差，且已知 时的高精度参数估计 为讨论参数 的高精度估计，首先求解方程组(1)的相轨线。 两式相除 分离变量并两边积分 其中, 为积分常数。 （2） （3） 移项 （4） 式(4)可看成关于解释变量 和被解释变量 的线性回归方程。这样，原参数估计问题就转化为求解 的多元线性回归问题，可利用最小二乘法估计参数 的值。借助SPSS统计软件中的回归分析模块采用最小二乘法进行拟合求解，分析结果见表1～表3。 0.000095718251 1.000 1.000 1.000 回归方程的估计标准误差 调整的决定系数 决定系数 复相关系数 0.000 4.158×109 38.097 0.000 3 2 5 114.291 0.000 114.291 回归平方和 残差平方和 总平方和 概率P-值 F统计量 方差 自由度 离差平方和 误差来源 表1 模型拟合概要 表2 方差分析表 -1.000 -1.000 0.000 -5.611×104 0.000 -1.000 12.001 12.000 0.000 5.852×104 0.000 12.000 -2.000 -2.000 0.000 -1.078×105 0.000 -2.000 13.821 13.819 0.000 5.120×104 0.000 13.820 常数项 置信上限 置信下限 95%的置信区间 概率P-值 T统计量 回归系数的标准误差 回归系数取值 变量 表3 各参数的显著性检验 表1表明回归分析的拟合优度为1.000。表2表明F检验P-值近似为0，模型高度显著。表3给出了各参数的取值，并且每个系数都是显著的，各自的t检验P-值均近似为0。置信度为95%的置信区间的上下限近似相等，同样表明结果的精度很高。为进 一步说明，给出模型的残差图，如图1。 图1 残差图 从残差图来看，