无穷积分敛散性判别法.doc

无穷积分敛散性的判别法 郑汉彬 摘要：本文就一些常见的判定方法做一个归纳,这样将有助于我们灵活地运用各种判无穷积分的敛散性关键词：对比了的应用以及在应用过程中应注意的一些,不仅使这些原本复杂的问题简单化,而且可避免出现错误在上有定义,且对在上可积,当 存在,称此极限为函数在区间上的无穷限反常积分(简称无穷积分),记为 这时称积分是收敛的.如果上述极限不存在,为方便起见,并称无穷积分发散. 2 无穷积分敛散性的判别法 如何判断一个无穷积分的敛散性,这是无穷积分理论的重要内容之一。对此,我们首先建立一个收敛准则,然后再介绍几种常有的敛散性判别法。 2.1 柯西收敛准则 因为无穷积分的收敛问题即是极限的存在问题,所以由极限的柯西收敛准则立刻可以得到无穷积分的收敛准则。 定理1 无穷积分收敛的充分必要条件是对任何,都存在,使当时,有 一般来说,利用柯西收敛准则判断一个无穷积分的收敛性,其难度是比较大的。实践证明,在不少情况下,将所给的无穷积分与一个已知其敛散性的无穷积分相比较,可以有效地确定该无穷积分的敛散性。我们可以给出下面的比较判别法。 2.2 比较判别法 定理2 设定义在上的函数f和g都在任何有限区间[a,u]上可积,满足 则当收敛时必收敛；当发散时, 必发散. 比较判别法是一种非常重要和常见的无穷积分敛散性判别法,在很多情况中都会用到,常常会收到 比较明显的效果。上面介绍的是比较判别法的一般形式,比较判别法也有极限形式。 2.3柯西判别法 定理3 设定义于,且在任何有限区间上可积,则有 (i) 当且时收敛； (ii) 当且时发散. 当无穷积分收敛,但无穷积分不收敛,称无穷积分为条件收敛。上面介绍的比较判别法和柯西判别法都只能判定无穷积分的绝对收敛性,对于条件收敛的判定则是无能为力的。下面再介绍两种适用范围更广的狄利克雷判别法和阿贝尔判别法。 2.4 狄利克雷判别法 定理4 若在上有界,在上当时单调趋于0,则收敛. 2.5阿贝尔判别法 定理5 若收敛,在上单调有界,则收敛. 上面介绍的柯西收敛准则,比较判别法,柯西判别法,狄利克雷判别法,阿贝尔判别法是最常用的五 种判别无穷积分敛散性方法,我们必须熟练和准确地掌握这几种判别方法。下面介绍几种不常见的对 数判别法,比值判别法等判别方法,对我们学习和研究无穷积分的敛散性也有所帮助。 2.6 对数判别法 定理6 设在上恒正可积,且 (i)当时,无穷积分收敛, (ii)当时,无穷积分发散. 注1 我们在利用对数判别法讨论无穷积分的敛散性时,被积函数必须是恒的。 当时,无穷积分的敛散性无法确定。我们必须利用别的判定方法对其进一步判定。 2.7 比值判别法 正项级数的敛散性判别法很多,例如比值判别法,根值判别法,拉贝判别法等,但非负函数无穷积分的敛散性判别法却不多,正项级数与非负函数无穷积分本有相似之处,我们可以建立非负函数无穷积分,其敛散性与正项级数敛散性判别法相似,于是我们得到无穷积分的比值判别法。 定理7 设有在上可积,且 则当时无穷积分收敛,当时无穷积分发散. 上面得出了无穷积分的比值判别法,我们同理也可得出无穷积分 的根值判别法：设有在上可积,若 则当时无穷积分收敛,当时无穷积分发散. 2.8 求导极限判别法 定理8 设函数在上可导,且,若 , 则,当时, 收敛； 当时, 发散； 当时, 敛散性不确定. 以上对数判别法,比值判别法和求导极限判别法都有被积函数非负这一约束条件, 当上式的比值 时,无穷积分的敛散性都不确定,都要求我们作进一步的讨论。在很多情况下,这三种 方法是可以相互通用的。 2.9 极限审敛法的等价定理 我们将无穷积分运用无穷小和无穷大比较的方法进行比较,可得到了相应无穷积分敛散性极限审 敛法的等价定理,从而可运用等价定理灵活地判断无穷积分的敛散性。 定理9 设在上连续,且. (i)如果存在在常数,即有界,则收敛； (ii)如果是的同阶或低阶无穷小,则发散. 3 判别法的应用 例1 求证反常积分收敛,其中被积函数在的值定义为1. 证明 对任何,按分部积分公式有 从而有 对于任给的,取,于是当时,就有 由柯西收敛准则知反常积分收敛.