无穷级数讲义.doc

第四章 无穷级数 4.1.基本概念与内容提要 级数收敛性相同。若级数都收敛，则级数也收敛，且。若级数都发散，则级数不一定发散。若级数发散，则级数必发散。 由级数收敛不能得到级数收敛。 。 P级数，当p1时收敛，当发散。其中调和级数发散。 级数发散，其中k为正常数。级数收敛存在。 如果级数收敛，则。如果，则级数必发散。 改变一个级数的任意有限项，不改变其敛散性，但在收敛时原级数的和改变。收敛级数加括号后仍收敛于原级数和。若加括号后所得级数发散，则原级数也发散。 正项级数审敛法： 广义积分的敛散性的判别方法与正项级数的相同。 交错级数判断收敛一般用下述方法： （1） （2）取通项的绝对值所构成的级数，若收敛则原级数绝对收敛；若此绝对值所构成的级数用比值法或根值法判定发散，则通项不趋于0，原级数发散。 （3）拆项或并项的方法，将通项拆成两项，若以此两项分别作通项的级数均收敛，则原级数收敛；若一级数收敛另一发散，则原级数发散。若并项后的级数发散，则原级数也发散。 （4）如果能立即看出，则级数必发散。 绝对收敛与条件收敛： 绝对收敛级数的和仍绝对收敛，绝对收敛级数与条件收敛级数的和是条件收敛。 任意项级数的判别法：①绝对值判别：若级数。即绝对收敛的级数一定收敛。②拆项或并项的方法，将通项拆成两几项之和，利用交错级数和正项级数的判别方法。其一般判别步骤如下图所示： 幂级数： 幂级数在收敛域上的性质： 若幂级数的收敛半径为，的收敛半径为，则，收敛半径。 例：幂级数的收敛域为_______________ 解：由于， ，的收敛半径为1，当时，级数绝对收敛，所以，收敛域为。 当两个幂级数的收敛域不同时，它们的和的收敛域是两个收敛域的交集，这种方法可以简化求幂级数的收敛域。 幂级数在收敛域上绝对收敛，且和函数S(x)为连续函数。若在-R或R处收敛，则S(x)在-R或R处分别右连续、左连续。和函数S(x)为可导函数且，逐项求导后收敛半径不变。和函数S(x)为可积函数且，逐项积分后收敛半径不变。逐项求导、逐项积分后，收敛半径不变但收敛域可能改变，在端点处的敛散性可能改变。 若幂级数在，则当。如果在某点 例：设幂级数在x=3处条件收敛，则幂级数在x=3处（ C ） A.条件收敛 B.绝对收敛 C.发散 D.收敛性与相关 解：原幂级数在x=3处条件收敛说明收敛半径为3-1=2。幂级数经逐项积分、平移后，收敛半径不变，所以后一幂级数的收敛域为（-2，2]。X=3在收敛域外，所以在该点处发散。 幂级数收敛半径的求法：设，则当。此种求收敛半径的方法是充分条件，若不存在时并不能说收敛半径不存在，因为收敛半径总是存在的。对于类似、等级数的收敛半径不能这样做，应根据求收敛半径。 例：求的收敛半径。解：设用比值判别法， 由得：当时，级数绝对收敛；当时，级数发散；所以收敛半径为。 错解：由公式，所以。 小试身手：幂级数的收敛半径为__________（答案：） 级数的和的求法： 观察所给幂级数通项的系数，若为n的简单有理式，则通过拆项将其拆成更简单的分式之和；通过逐项积分，设法消去分式中分子的n(或n-1,n+1等)；通过逐项求导，设法消去分式中分母的n(或n-1，n+1等)；最后设法利用级数之和。若的分母为也可通过上述方法化简，最后利用的展开式求和。若的分母为也可通过上述方法化简，最后利用的展开式求和。幂级数求和还应求出收敛域。常用方法举例：设用下列两种途径求和函数：（1）；（2）。 用幂级数求和的方法求某些数项级数的和时，要找到一个适当的幂级数，求出它的和，再命x为某值得到欲求的数项级数的和。已知某些和求另一些与此相关的和时，关键步骤时，将欲求的前n项部分和表示成已知部分和，然后取极限。 函数展开成幂级数： 直接展开法：利用泰勒级数公式，将函数在某个区间上直接展开成指定点的泰勒级数。 间接展开法：通过一定的运算（主要是加减法，数乘运算，逐项积分和逐项求导运算）将函数转化为其它函数，进而利用新函数的幂级数（主要是一些简单函数的迈克劳林展开式）展开将原来函数展开为幂级数。间接法是将函数展开为幂级数的主要方法，具体方法是：①先求导，展开成幂级数后在积分；②先积分，展开成幂级数后在求导。当然，中间还要通过一些适当的运算。 一些常用函数展开成幂级数： ， 欧拉公式： 三角级数： 傅立叶级数： 周期为的周期函数的傅立叶级数： 当x是f(x)的连续点时，该级数收敛于f(x)；当x是f(x)的间断点时，该级数收敛于f(x)在该点的左右极限的平均值。 4.2.例题选讲 例1.试求无穷级数的和。 解：由于 例2. 设是单调递增且有界的正数数列，证明：级数收敛。 证明：由于单调递增，则, ，由单调递增且有界得存在 收敛， 级