有限长单位脉冲响应数字滤波器的设计方法.ppt

主要内容 5.1 线性相位FIR滤 波器的特点 5.2 用窗函数法设计 FIR滤波器 5.3 用频率采样法设 计FIR滤波器 5.4 FIR滤波器和IIR 滤波器的比较 有限长序列的对称性 当 是有限长序列时，其定义区间为（0～N-1），注意，与在第1章中的对称性不同，其所谓的对称性是指关于 N/2 点的对称性，而不是关于原点的对称，如右图所示。 例5-7 已知N=25，高通截止频率为 。试分别用矩形窗和海宁窗设计具有线性相位的高通滤波器，并绘出相应的幅频特性。 【解】已知理想高通滤波器的频率响应为 其中， ，求得无限单位脉冲响应为 根据 ， ， ，并选用偶对称形式，即可求得13个 的值，且 ，┅┅， ， 当采用矩形窗时 当采用海宁窗时 将计算出的值代入式（5-15），可求出加矩形窗和海宁窗后的幅频特性，见图5-15。 表5-4 IIR与FIR数字滤器的比较 上面两个表达式形式虽然完全一样，但由于N为奇数时，对称中心点α=(N-1)/2 为整数，N为偶数时，α为非整数，因此N在奇数和偶数情况下，滤波器的单位脉冲响应的对称中心不同， 在 0≤n≤N-1 上的取值也完全不同。 （a）加矩形窗 （b）加海宁窗 图 5-15 例5-7中高通滤波器设计结果 （5）当ωωc+2π/N 当时，随着ω的继续增大，卷积值将随着WR(ω-θ)的旁瓣在Hd(θ)的通带内面积的变化而变化，H(ω)将围绕着零值波动。 当ω由ωc-2π/N向通带内减小时，WR(ω-θ)的右旁瓣进入Hd(θ)的通带，使得H(ω)值围绕H(0)值而波动。H(ω)值如图5-9（f）所示。 综上所述，加窗函数处理后，对理想频率响应产生以下几点影响：  （1）H(ω)将Hd(ω)在截止频率处的间断点变成了连续曲线，使理想频率特性不连续点处边沿加宽，形成一个过渡带，过渡带的宽度等于窗的频率响应WR(ω)的主瓣宽度Δω=4π/N，即正肩峰与负肩峰的间隔为 4π/N。窗函数的主瓣越宽，过渡带也越宽。 （2）在截止频率ωc的两边即ω=ωc±(2π/N)的地方，H(ω)出现最大的肩峰值，肩峰的两侧形成起伏振荡，其振荡幅度取决于旁瓣的相对幅度，而振荡的多少，则取决于旁瓣的多少。 （3）改变N，只能改变窗谱函数的主瓣宽度，改变ω的坐标比例以及改变WR(ω)的绝对值大小。例如，在矩形窗情况下， 式中，x=ωN/2。 当截取长度N增加时，只会减小过渡带宽度(4π/N)，但不能改变主瓣与旁瓣幅值的相对比例; 同样，也不会改变肩峰的相对值。这个相对比例是由窗函数形状决定的，与N无关。换句话说，增加截取窗函数的长度N只能相应的减少过渡带，而不能改变肩峰值。 由于肩峰值的大小直接影响通带特性和阻带衰减，所以对滤波器的性能影响较大。例如, 在矩形窗情况下，最大相对肩峰值为8.95%，N增加时，2π/N减小，起伏振荡变密， 最大相对肩峰值则总是8.95%，这种现象称为吉布斯效应。 矩形窗截断造成的肩峰值为8.95%，则阻带最小衰减为20 lg(8.95%)=-21 dB, 这个衰减量在工程上常常是不够大的。 为了加大阻带衰减， 只能改变窗函数的形状。只有当窗谱逼近冲激函数时，也就是绝大部分能量集中于频谱中点时，H(ω)才会逼近Hd(ω)。这相当于窗的宽度为无限长，等于不加窗口截断，这没有实际意义。  从以上讨论中看出，窗函数序列的形状及长度的选择很关键， 一般希望窗函数满足两项要求： （1）窗谱主瓣尽可能地窄，以获取较陡的过渡带。 6.2.2 各种窗函数 （2）尽量减少窗谱的最大旁瓣的相对幅度。也就是能量尽量集中于主瓣，这样使肩峰和波纹减小，就可增大阻带的衰减。 但是这两项要求是不能同时都满足的。当选用主瓣宽度较窄的窗时，虽然得到较陡的过渡带，但通带和阻带的波动明显增加；当选用最小的旁瓣幅度时，虽能得到平坦的幅度响应和较小的阻带波纹，但过渡带加宽，也即主瓣会加宽。