李尚志教授数学大观课件.ppt

润物细无声：应用案例   子空间概念的应用 空间与向量 概念的引入：随风潜入夜  一、方程组的解法 加减消去法?方程的线性组合 ? 原方程组的解是新方程的解 是否“增根”？? 方程组的等价变形 ? 初等变换 ? 高斯消去法 只用到系数的运算? 行向量表示方程?数组向量 矩阵表示方程组?矩阵的初等变换 只用到系数的加减乘除?数域 二、线性相关与线性无关 例1. 方程个数的真与假 方程组 有几个方程？ (3) α= (1,1,1); b = (2,1,5); g = (1,-3,6). 方程组 l1 a + l2 b = g 无解。 还需解 l1 a+ l3 g = b, 仍无解。 还需解 l2 b + l3 g = a, 仍无解。 解三个方程太繁琐！ 只须解一个方程 l1 a+ l2 b+ l3 g = 0 有(无)非零解??线性相(无)关 方程组线性相关 ? 有多余的方程（是其余方程的线性组合） 删去多余的方程 ---- 打假 将打假进行到底? 极大线性无关组 剩下的方程的个数---- 秩rank 秩的唯一性 方程组(A1 , A2 , A3) 与(B1 , B2) 互为线性组合 A1= a11B1+a12 B2 A2=a21B1+a22B2 A3=a31B1+a32 B2 x1 A1+x2 A2+ x3 A3 = 0 : (a11x1+a21x2+a31x3)B1+(a12x1+a22x2+a32x3)B2 = 0 未知数个数方程个数? 有非零解 (x1,x2,x3) ? A1 , A2 , A3 线性相关. 方程可以换成任意对象,只要仍有加法和数乘且满足运算律,证明仍成立 ? 抽象向量空间 三、行列式的定义 （一）二元一次方程组的几何意义 写成 1、有唯一解条件: 不共线, 2、消元: 两边与 作内积消去 y 4、 代数算法： 行列式应用例: 隐函数存在定理 F(x,y) 在某点P0可微 何时由 F(x,y)=0 确定 y=f(x)? 一般F不好解决?凌波微步? 线性化: aDx+bDy ≈ 0, y=f(x) 在 x0 可微,导数为 隐映射定理 可微函数 n 个方程 =0 , 线性化 即 当 det B 时有唯一解 Z2 上的行列式与可逆阵 随机地给定n2个整数行列式 |A|. |A| 为奇数和偶数的概率各是多少? |A|=奇数 ?? A 是 Z2 上可逆方阵 ?? 各行线性无关. 第一行: 2n-1 种取法 第二行: 2n-2中取法 第k行: 2n-2k-1种取法. 为奇概率=(1-1/2n)…(1-1/2) 数学聊斋 纠错码的原理 构造纠错码---Z2上的线性方程组 系数矩阵 ( 0 0 0 1 1 1 1) ( 0 1 1 0 0 1 1) ( 1 0 1 0 1 0 1) 解空间的维数 7-3 =4 . 码数 24 =16  复数乘法的几何意义 单位根 单位根的乘法群 x15-1在有理数范围内分解 应用案例. 足球队排名 根据足球比赛成绩给出各队实力名次 X1 … Xj … Xn X1 … a1j … a1n … … … …… Xi ai1 … aij … ain … … … …… Xn an1 … anj … ain 根据对手实力对得分加权 先验实力比： x1 … xj … xn y1 = a11x1 + … + a1j xj + …+a1nxn … … yi = a11x1 +… + a1j xj + … + a1nxn Xn an1 … anj … ain