根轨迹法的基本法则.ppt

4-2 根轨迹法的基本法则 根轨迹的分支数等于开环有限极点数n和有限零点数m中 较大者，即根轨迹的分支数＝闭环特征根数，它们是连 续的且对称于实轴。 作业 4－3 4－5（1） 4－6（2）（3） 4－8 * * 法则1 根轨迹的起点、终点 法则2 根轨迹的分支数、对称性和连续性 法则3 根轨迹在实轴上的分布 法则4 根轨迹的渐近线 法则5 根轨迹的分离点和分离角 法则6 根轨迹的起始角和终止角 法则7 根轨迹与虚轴的交点 算例 法则8 根之和 根轨迹终点在K= ∞ 处 根轨迹起始于开环极点Pi 根轨迹终止在开环零点Zj 法则一 根轨迹的起点、终点 n条轨迹从开环极点出发，只能有m条终止在开环零点, 另外n-m条应终止何处？ 余下n-m条根轨迹将终止在无穷远处 把无穷远处看作有限零点，开环零点数和开环极点数相等 根轨迹是上述方程的根随某参数变化而生成的运动轨迹 得到下述结论 法则二 根轨迹的分支数、对称性和连续性 当系统nm时，有(n－m)条根轨迹分支终止于无限远零点。 沿着渐近线趋于无限远处。(s很大时的根轨迹） 渐近线也对称于实轴（包括与实轴重合）。 渐近线与实轴的交角 渐近线与实轴的交点 法则三 根轨迹的渐近线 说明 已知系统的开环传递函数，试确定根轨迹的渐近线。 四个开环极点：0、-1+j、-1-j、-4 一个开环零点：-1 共有四条根轨迹， 渐近线与实轴交点： 渐近线与实轴正方向的夹角： 根轨迹的渐近线例一 实轴上的根轨迹为0→－1 , －4→－∞ 规则三 实轴上的根轨迹 规则二 根轨迹起始于开环极点 规则四、五 渐进线与实轴的夹角、交点 0→－1 , －2→－∞ 解：根据规则 60o -60o -180o s?∞ s?∞ s?∞ 三条渐进线如图 根轨迹的渐近线例二 例如，某系统开环零极点分布 如图。现在要判断实轴上的某 点Sa是不是根轨迹上的点. 由幅角条件很容易得到实轴上的根轨迹： 各开环零、极点的幅角： 实轴上试验点右边的零、极点其幅角为180°。 零、极点在实轴上试验点左边其幅角为零； 共轭零、极点的幅角其和为零； 观察左边等式有如下结论： 要判断实轴上的 某点Sa是不是根轨迹上的点，只要计算一下它右边的实轴上零极点的幅角和是否符合幅角条件 如果实轴上某一区段的右边的实数开环零点、极点个数之和为奇数，则该区段实轴必是根轨迹。 法则四 根轨迹在实轴上的分布 已知系统的开环传递函数，试确定实轴上的根轨迹。 [-1，-2] 右侧实零、极点数=3。 [-4，-6] 右侧实零、极点数=7。 分离点(或会合点)：根轨迹在s平面 某一点相遇后又立即分开。 分离点必然是为闭环特征方程的重根点。 分离点的特性： 分离点必然是位于实轴，或共轭形式出现 在复平面。 实轴上，两相邻极点或零点之间至少存在一个分离点（包括 无限零点或极点）。 法则五 根轨迹的分离点与分离角 2、分离点（或会合点）处的根轨迹的会合角（或分离角） 1、分离点?b坐标值由分式方程解出 解：原式化为零极点形式 1、根轨迹起点：0 ，-2.73 ，-1 ? j 2、实轴上根轨迹：0 ? -2.73 由特征方程为： 4、分离点： 求出重根为： s1、2 = - 2.07 分离点 -2.07 3、渐进线： 手算可用试探法，由上图，分离点在 -1.18 和 -2.73之间找；若求出的重根点在实轴上但不符合“实轴上根轨迹”的判断规则就要舍去 -1.18 复数极点附近根轨迹形态怎样？ 在复数极点附近取一个试验点Sa，各零、极点到试验点Sa的矢量幅角和应满足幅角条件，当Sa点无限趋近该复数极点时，可求出根轨迹从该点出射方向。 为求根轨迹从P3点处的出射角，在其附近找一个实验点Sa，并认为该点在根轨迹上，则它应满足幅角条件： 前提：Sa无限靠近P3 法则六 根轨迹的起始角与终止角 起始角?p :从开环复数极点出发的一支根轨迹，在该极点处根轨迹的切线与实轴之间的夹角。 根轨迹起始角的一般计算式(0～360°) 终止角?z:进入开环复数零点处根轨迹的切线与实轴之间的夹角。 根轨迹终止角一般计算式(0～360°) 四条分支 起始点p1＝0、p2、3＝-0.5±j1.5 、p4＝―2.5 终止点z1＝－1.5、z2，3＝－2±j、－∞ 实轴上0～－1.5和－2.5～－∞两区段是根轨迹 取k＝0 p3和p2为共轭复数，根轨迹起始角对称。 或 取k＝-1 z2和z3为共轭复数，根轨迹终止角对称。 根轨迹与虚轴相交?闭环特征方程有纯虚根、系统处于临界稳定状态。 2）代数法 法则七 根轨迹与虚轴的交点 例：系统的开环传递函数 ，求根轨迹与虚轴的交点 。 闭环特征方程 阵列中s2行元素