概率论习题解法探讨.doc

概率论习题解法探讨 何 声 武 随着科学技术的发展，概率论与数理统计在众多的学科（包括自然科学与社会科学）及生产实际部门中得到了越来越广泛的应用。特别是随着我国经济建设迅猛的发展，这方面的要求越来越多。与此相适应，“概率论与数理统计”不仅成为大学数学系的一门基础课程，而且在理、工、医、农以至文科的一些系科中也相继设置这门课程。在中学数学教学改革中，国外许多中学数学教材中都在不同程度上列入了这一内容，或者专门作为一门课程设置，在数学竞赛中也包括概率方面的题目。在我国，现行数学教学大纲也已规定在中学阶段要学习一些关于概率统计的初步知识。但是，这门课程的设置，或者把其中某些内容安排在中学学习，毕竟历史较短，因此对概率论与数理统计的教学，从教材到教学方法，积累经验并进行广泛的探讨是一项很值得重视的研究课题。概率论习题的解法与讲解就是其中的一个值得探讨的问题。 历来形成这样一种片面的看法，认为概率论的习题十分困难（虽然也很有趣），不易掌握规律，甚至新学这门课程的学生尚未入门先有此见，这在一定程度上对教学产生了不良的影响。事实上，与任何一门数学课程一样，概率论的习题就基本部份来讲并不特别困难。问题在于概率论是处理随机现象的，其处理方法与其它数学科学很不一样，解决问题时更着重概念与思路，学生一下子不易掌握。然而概率论也有其突出的优点，那就是有非常强烈的直观意义，有利于理解与想象。因此在做概率论习题时适当地予以指导，逐步懂得与运用概率论的特点，对教师与学生都具有一定的帮助的。本文试图通过一部份典型习题的分析，介绍一些解概率论习题的有用方法。这些方法大多体现了概率论本身的一些特点。解法上有一定共同点的几个习题合成一节，但各节前后并没有严格的连贯性。事实上，这些习题的选取有很大的片面性，不仅没有全面地包括各种类型的习题（特别是基本的习题），而且内容上也不完整（例如没有大数定律与极限定理方面的习题），有特色的解题方法没涉及的很多。从某些习题的难度与深度来说，也许是高了些，但从扩大眼界与开阔思路的要求看，可能还是有用处的。 一、古典概型中样本空间的选取 古典概型是初等概率论中最基本的内容之中。刚开始学习概率论时，大部分的习题就集中在这部份。由于在古典概型的习题中大量运用排列组合方法，而排列组合的灵活性相当大，因此主要也是在这里给学生开始造成概率论习题难做的印象。作者认为应从两个方面来解决这个问题。首先应注意在教学中不能大量选用只是单纯计算排列组合的习题，不能使重在掌握排列组合的计算技巧超过重在掌握概率论的基本概念；其次在解题时对概率性质的运用要予以充分的注意，我们将会看到，注意了这点，复杂的排列组合的计算也是可以避免的。 设一个随机试验的全部可能结果（样本点）只有有限个，ω1,ω2,…,ωn，其中每一个结果出现的可能性都相同(等可能性)，即。一个随机事件可表示为样本空间Ω={ω1,ω1,…,ωn}的一个子集A，且它的概率为，其中k是A所包含的样本点个数（有利场合的个数）。这就是古典概型。古典概型的习题大多是求某个随机事件A的概率。这里应包含两个步骤：第一步是选取适当的样本空间Ω，使它满足有限，等可能的要求，且把A表示为Ω的某个子集；第二步则是计算n（样本点总数）及k（有利场合的个数）。只是在第二步因为要计数才使排列组合起到重要作用。（也应注意在简单的问题中，计数只需枚举，排列组合也不必用。我们常会遇到这样的学生，他认为算概率必用排列组合，碰到不必用排列组合的简单问题反而做不来了。）人们往往重视第二步而忽视了第一步。在这一节中我们将通过一些例子着重谈谈重视第一步对解题的意义。 [例1] n个朋友随机地围绕圆桌而坐，求其中甲、乙两人坐在一起（座位相邻）的概率。 [解] 很自然会把这个问题看作圆周排列的一个简单应用，但我们不用这种办法。设甲已先坐好，考虑乙怎么坐法。显然乙总共有（n－1）个位置可坐，这（n－1）个位置都是等可能的，而有利场合，即乙坐在甲的边上，有二个，因此所求概率为。 如把上述解法作细致的分析，那就是我们取样本空间Ω={ω1,ω2,…,ωn－1}, ωi表示乙坐在甲左边第i个位置上，它满足有限与等可能的要求，我们要求概率的事件A表示为Ω的子集{ω1,ωn－1}。显然，对例1这样选取的样本空间Ω（有限并等可能）是最小的了，再要小的话，事件A就“装”不进去，或者就无法保证等可能性了。用其它办法做这道题目选取的样本空间只会更大，比上述解法复杂。值得指出的是在我们的解法中用不到排列组合。 [例2] 袋中有a只黑球，b只白球。把球随机地一只只摸出来（不放回）。求第k次（1≤k≤a+b）摸出黑球的概率。 [解] 这是复旦大学编“概率论”第一册（20页）中的一个例题。那里提供了两种解法，一种用排列，一种用组合。在该书上也指出了可以有更简单的办法，那就