概率问题解法探讨.doc

概率问题求解方法 浙江·宁波东方外国语学校 栗建洲 315500 注：此文发表于《新高考》2004.3期 概率是对随机现象规律渲绎的研究，由于随机现象具有普遍性,使得概率有着广泛的应用。高中新教材实验修订本第二册（下）概率部分重点介绍了等可能事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立的事件同时发生的概率（包括贝努利实验）。本节内容其关键是要让学生正确理解概率发生的条件，并掌握一些基本的概率“模型”。下面结合教学的实际例谈概率问题的几种解法。 一、公式法 概率部分有四个主要的公式（1）等可能事件发生的概率P（A）= （2）互斥事件有一个发生的概率 P（A+B）= P（A）+ P（B） （3）相互独立事件同时发生的概率P（A·B）= P（A）·P（B） （4）贝努利公式(1―P)，应用这些公式的关键在于正确理解公式成立的条件。 例1：猎人在距100米处射击一野兔，其命中率为，如果第一次射击未中，则猎人进行第二次射击，但距离为150米，如果第二次未击中，则猎人进行第三次射击，并且在发射瞬间距离为200米，已知猎人命中概率与距离平方成反比，求猎人命中野兔的概率。 解：记三次射击为事件A、B、C其中P（A）= 由= P（A）= ∴ P（B）= P（C） ∴命中野兔的概率为：P（A）+P（·B）+ P（··C）= 二、组合分析法 对于等可能的事件，我们可以利用组合分析法来计算其概率，其关键是寻求等可能事件的总数和事件的发生数。 例2：设有n个人， （2）恰好有n个房间其中各住一人记作事件B，则这n个房间从N个房间中任选共有 个, 由（1）可知：P（B）= 三、间接法 某些概率问题，正面求解，不是很容易，特别当问题中出现至多（至少）等条件时，可采用间接方法转化为“对立事件”来求解 例3：已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机制概率为0.2 （1）假定有5门这种高炮控制某区域，求敌机进入该区域后被击中的概率。 （2）要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？ 解：（1）设敌机被第k门高炮击中的事件为Ak（k=1、2、3、4、5）那么5门高炮都未击中敌机的事件为···· ∵ Ai 是相互独立事件 ∴ 敌机击被击中的概率为： P（····） = P（）·P（）·P （）·P（）·P（） = (1―0.2)5 = ∴ P = 1－ (2)设至少需要n门高炮使敌机有0.9以上的概率被击中，则： 1― 0.9 解得：n 10.3 ∵ n∈N+ ∴ 至少需要11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机。 四、转化法 当依据题意所表述的形式难于思考时，可将该问题转化成一个熟悉的“概率模型”，从而求得其解。 例4：某数学家有两盒火柴，每盒都有n根火柴，每次用火柴时，他在两盒中任取一盒并从中任取出一根，求他发现用完一盒时，另一盒还有r根（1≤r≤n）的概率。 解：由题意数学家共用了2n―r根火柴，其中n根取自一盒，n―r根取自另一盒，于是此问题可等价转化为：“2n―r个不同的球，放入两个盒子，求甲盒放n个，乙盒放n―r的概率”，记作事件A，因每个球放入两个盒子共有2种放法 ∴2n―r个球的所有等可能结果为，甲盒放入n个球的可能结果为 ∴P（A）= 五、枚举法 对于带有开放性的概率问题，首先要弄清题意，恰当理解陈述问题的材料，联想所学的概率模型、分类讨论，然后表述解决问题的方案。 例5：基本系统是由四个整流二极管（串、并）联而成，已知每个二极管的可靠度为0.8（即正常工作），若要求系统的可靠度0.85，请你设计二极管的联结方式。 解：设系统可靠性为P （1）若全并联，则P = 1―0.24=0.9984 0.85 （2）若两个两个串联后再并联，则P = (1―0.82)2 = 0.8704 0.85 （3）两个两个并联后再串联，则P = (1―0.22)2 = 0.9216 0.85 （4）三个串联与第四个并联，则1―0.2（1―0.83）= 0.9024 0.85 ∴设计如下 → → → → → → → → 六、几何法 有些事件发生的结果满足某一代数关系式，则事件发生的概率可依据几何意义来求： 例6：甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即刻离去，求两人会面的概率。 解：设x、y分别为甲乙两人到达约会地点的时间，若两个人能