由脚印估计罪犯的身高.doc

由脚印估计身高的概率分析 数学一班 0710210105 孙玲 0710210104 石玲 关键词：身高 脚印 正态分布 条件期望 在推断犯罪的侦破技术中有如下公式: 身高=脚印长度(6.876 那么这个公式是如何获得的呢，利用所学的概率统计的基本知识，运用条件数学期望和回归，我们可以对之作一个简单的推导。 其实,已知脚印长度来估测人的身高这一问题，正是我们所讨论的条件数学期望。设一个人的身高为,他的脚印长度为，那么我们可以把看成是一个二维随机变量。对脚印长为的人群来说,他们的身高所服从的分布就是这一分布函数.假设已知某人的脚印长度为,要估计该人的身高是多少,我们可以把在这一事件发生的条件下的平均身高作为一种估计.显然，由于影响人身高与脚印长度的因素是大量的、相互独立的，且各因素的影响又是微小的，可以叠加的，故由“中心极限定理”，在误差存在的基础上可以近似地看成服从N的二维正态分布，其中参数是，这些数据可能因区域、民族、生活习惯的不同而有所变化，但它们均可以通过统计方法获得，在此，不再赘述。 现在我们来继续分析问题。设罪犯的脚印长度为y ，要估计其身高就需要计算的条件期望，它的条件密度函数为 这正是正态分布的密度函数，因此 。 这是一个y的线性函数，如果把在平面上表示,它是一条直线,这条直线在一定程度上描述了身高依赖于脚印长度的关系。我们已经知道是关于的函数,假设还有其他的函数可以作为对的取值估计,并且要求这种估计的误差要尽可能地小,但是随机变量,所以我们求平均值 但是由于绝对值运算在数学处理上并不方便，所以利用数学分析上所学的“最小二乘法”及类似于方差的讨论方法求下式： 如果的密度函数为,就有 由方差的性质：对任意的常数有 可知,当时,能使 达到最小,从而当时,也使达到最小.所以在已知发生的条件下,用作为对的估计是最佳的,这时均方误差达到最小. 当的密度函数未知时,或者过分复杂时,这时可降低一些要求来寻找其他的估计.一个常用的估计是,假设在的线性函数类中能使均方误差达到最小。于是，我们来讨论线性函数，也就是要确定常数与,使得 为此,只要令 上述方程组等价于 解此方程组可以求得 其中 是与的相关系数. 所以算出系数后，在线性函数类中使得均方误差达到最小的线性估计是 通过我们简单基本的对人的身高和脚长的数据了解，我们做出了如下以脚印长为X轴，身高为Y轴的坐标图，将身高和脚长数据成对的在图上表示出 根据数据如图显示，我们也可以同样猜测，人的身高与脚印长，存在着近似的线性关系。 我们在学校及其周围通过对不同人身高与脚长数据的收集统计，随机选取了50个人的数据，列出了如下表格： 身高与脚长数据统计表 身高 （cm） 脚长 (cm) 身高平均值169.92 脚长平均值24.84 各个数据与平均数之差的平方 各个数据与平均数之差的平方 身高平均值（cm） 脚长平均值（cm) 176 26 6.08 1.16 36.9664 1.3456 169.92 24.84 172 25.5 2.08 0.66 4.3264 0.4356 170 25.5 0.08 0.66 0.0064 0.4356 身高方差 脚长方差 167 23 -2.92 -1.84 8.5264 3.3856 53.0736 1.2844 166 24 -3.92 -0.84 15.3664 0.7056 158 23.5 -11.92 -1.34 142.0864 1.7956 身高标准差 脚长标准差 161 24 -8.92 -0.84 79.5664 0.7056 7.2851630044 1.1333137253 165 23.5 -4.92 -1.34 24.2064 1.7956 172 26 2.08 1.16 4.3264 1.3456 175 25.5 5.08 0.66 25.8064 0.4356 158 23 -11.92 -1.84 142.0864 3.3856 185 27 15.08 2.16 227.4064 4.6656 169 26 -0.92 1.16 0.8464 1.3456 164 23.5 -5.92 -1.34 35.0464 1.7956 176 26 6.08 1.16 36.9664 1.3456 164 24 -5.92 -0.84 35.0464 0.7056 176 26 6.08 1.16 36.9664 1.3456 178 26.5 8.08 1.66 65.2864 2.7556 173 26.5 3.0