微分方程稳定性理论 数学建模课件资料.ppt

* * ?? ? ? ? ? ? ? 数学建模与模拟 ? 北京邮电大学 稳定性理论 虽然动态过程的变化规律一般要用微分方程建立的动态模型来描述，但是对于某些实际问题，建模的主要目的并不是寻求动态过程每个瞬时的性态，而是研究某种意义下稳定状态的特征，特别是当时间充分长以后动态过程的变化趋势。 动态过程的变化趋势可能趋于稳定，也可能在某些情况下会不稳定。为了分析这种稳定和不稳定的规律，常常不需要求解微分方程，而可以利用微分方程的稳定性理论，直接研究平衡状态的稳定性即可。 常微分方程的定性和稳定性理论成为数学建模必备的基础理论知识。 * 微分方程稳定性理论简介 基本概念 考虑 n 维空间Rn 中的向量值函数 当 、 时我们可以将之想象为平面或空间中一质点的运动曲线，它描述质点在时刻 t 的位置。 许多物理系统或社会系统均可以被一组形如 的微分方程描述，简记为 ，其中 ，通常称之为自治的动力系统。 * 称点 为动力系统 的一个平衡点 ，若 。 若 为动力系统 的一个平衡点,则 为动力系统的一个奇解。 平衡点 在对一个动力系统的定性分析中具有特殊的意义，称动力系统 的平衡点是（渐近）稳定的，若对该动力系统的任一解 ,均有 。 称n 维空间Rn 为相空间， 在相空间确定的曲线称为相轨线,简称轨线。 * 例：求解微分方程 的平衡点，并讨论其稳定性。 解：易得该微分方程组的唯一平衡点为 ； 由已知微分方程组可以得到 ， 进而 ，对该微分方程 组的任一解 ， ， 因此 ，因此平衡点 是稳 定的。 * 解：易知该微分方程组的唯一平衡点为 O(0,0)。 该方程组的解很容易求出，为（x(t)=et+C1 , y(t)= et+C2 ）显然，当 t 趋于无穷时，解并不会趋于O(0,0)。 故平衡点O(0,0)为不稳定的。 例：求解微分方程 的平衡点，并讨论其稳定性。 * 对于一个齐次的线性微分方程组 （ 为一 阶实方阵） 有如下结果： 定理 若 非退化，则 是线性动力系统 唯一平衡点，且平衡 点O是稳定的充分必要条件为A 的所有特征值 的实部 均小于0。 * 对于二维平面中（二阶方程）的情形，根据平衡点的局部拓扑性状可将其分为结点、焦点、鞍点以及中心等四类，其中鞍点、中心这两种类型的平衡点是不稳定的，而结点、焦点类型的平衡点还可以分为稳定与不稳定的两种情形。 二阶方程平衡点的拓扑分类与判别 * 平衡点是坐标原点o(0,0)，图中箭头方向表示当t增加时的轨线方向。 1）轨线是抛物线型。如果在平衡点附近的轨线具有如左图1（或图2）的分布情况，称该平衡点为不稳定（或稳定）结点。 2）轨线是双曲线型。如果在平衡点附近的轨线具有如右图1（或图2）的分布情况，称该平衡点为鞍点。 二阶方程平衡点的拓扑分类图形 * 3）轨线是以原点为中心的中心直线束。如果在平衡点附近的轨线具有如左图1（或图2）的分布情况，称该平衡点为不稳定（或稳定）的临界结点。 4）轨线是波浪型。如果在平衡点附近的轨线具有如右图1（或图2）的分布情况，称它是不稳定的（或稳定的）退化结点 。 * 5）轨线是轨线是对数螺线族 。如果在平衡点附近的轨线具有如左图上半图（或左图下半图）的分布情况，称该平衡点为不稳定（或稳定）的焦点 。 * 6）轨线是轨线是以原点为中心的圆族。如果在平衡点附近的轨线具有如上图的分布情况，称该平衡点为中心。 * 二阶方程平衡点的判别 就二阶齐次线性微分方程组 下表给出其平衡点O(0,0)的类型和稳定性 其中 A的二特征值λ1 λ2 p= -(a11+a22) q=|A| 平衡点类型 稳定性 λ1 λ2 0 p0,q0,p24q 稳定结点 稳定 λ1 λ2 0 p0,q0,p24q 不稳定结点 不稳定 λ1 0 λ2 q0 鞍点 不稳定 λ1 = λ2 0 p0,q0,p2=4q 稳定退化结点 稳定 λ1 = λ2 0 p0,q0,p2=4q 不稳