数学解题法---与等量公理相关的题型.DOC

等量公理相關題型--數學解題法舉例 劉俊傑 前言： 一個等號或是一個推理步驟，就是數學上一次數量或型式的變形。高中數學題目的解法，有許多就是在進行一連串的變形，直到出現所要求的答案為止。 本文將介紹利用基本的等量公理，對高中數學題目進行變形。由於等量公理可以隨時應用在數學的運算式中，為原式帶來算術或代數的變形，使題目的樣子在改變，但等式的關係卻仍然維持，也就是說恆等變形，其目的是變成可以處理或是代公式的型式，經計算化簡後就可以得到因式分解、求級數的和、解聯立方程式、配方法、推導證明或公式------等等的效果，本文將分成四種題型來做討論。 題型一：等量加法 (1) 等量加同量，其和相等。 ( 若，則 (2) 等量加等量，其和相等。 ( 若，，則 題型二：等量減法 (1) 等量減去同量，其差相等。 ( 若，則 (2) 等量減去等量，其差相等。 ( 若，，則 題型三：等量乘法 (1) 等量乘以同量，其積相等。 ( 若，則 (2) 等量乘以等量，其積相等。 ( 若，，則 題型四：等量除法 (1) 等量除以同量，其商相等。 ( 若，，則 ) (2) 等量除以等量，其商相等。 ( 若，，則 ) 本文： 題型一：等量加法 (1) 等量加同量，其和相等。 ( 若，則 (2) 等量加等量，其和相等。 ( 若，，則 例題1：已知數列滿足，，，，試求一般項。 解答： 由已知 等式兩邊各加上 即， 所以 ，以此類推得到, 因此 說明： 為了使此數列的各項產生關聯，我們可以在遞迴關係式的兩邊各加上， 發現此數列的各項在加上後，從第二項開始即成為等比數列，如此便可以得到原數列一般式的表示法。 例題2：試求等差級數 的和。 解答： 設 ……(1) 重新排列為 ……(2) 兩式相加(1)+(2)得到, 所以 說明：此例題為等差級數求和，只需要巧妙地將原式順序顛倒，再將此兩式相加，左式加上左式；右式加上右式，化簡後即可得此級數的和。 題型二：等量減法 (1) 等量減去同量，其差相等。 (若，則 (2) 等量減去等量，其差相等。 (若，，則 例題3：已知 ，，試求=？ 解答：由 ， 等式兩邊各減去 ， 等式兩邊平方得到, ………(1) 另由 ， 等式兩邊各減去 ， 等式兩邊平方得到, ………(2) (1)+(2) 由平方關係得到， 說明： 在運算化簡時經常使用到的移項定理，即將某項移到等號的另一邊，需要變號。實際上，是在等號的兩邊，同時加上某項或是同時減去某項，也就是說等量加法或是等量減法。因為經常用到移項定理，所以幾乎察覺不到，事實上也是等量公理的應用。 例題4：已知在ABC中，∠A、∠B、∠C的對應邊長分別為a、b、c，若∠B=120°，a= 6，求 值的範圍？ 【96年 統測】 解答： 由餘弦定理 等式兩邊各減去9 所以 ；另外兩邊差小於第三邊 故 值的範圍： 說明：為了製造平方差，得到含有的因式分解，需要先將 配成完全平方項，所以在等式兩邊各減去9。這個步驟在解題時比較不明顯，需要較佳的觀察能力， 例題5：求雙曲線的共軛軸長。 解答：先移項 等式兩邊各加9，並減去16 得到, 共軛軸長 說明：欲將此雙曲線的一般式變形成為標準式，要對及進行配方法的處理，也就是說要產生完全平方項。因此在等式兩邊各加上9，並減去16，再整理成標準式，即可以看出共軛軸的長度。 例題6：如圖1，自圓外一點作圓C：之二切線切點為A、B求AB直線方程式為？ 解答： 圖 1 設圓C的圓心為點O 因為OB⊥PB且OA⊥PA 所以 OP為的外接圓的直徑 的外接圓為---------(1) 圓C的一般式為--------(2) 兩式相減 (1)-(2)，即為AB的直線方程式 說明：先依據題意求出的外接圓的方程式，則直線AB為此外接圓與圓C的交線。用加減消去法解聯立方程式，將(1)式與(2)式相減，即可得到AB的直線方程式。 例題7：解二元一次聯立方程式 ， 試求 解答： (1)式與(2)式，兩式相加、兩式相減，得到 即 (3)式與(4)式，兩式相加、兩式相減，得到 說明：原聯立方程式的係數數值略大