既是定义又是公式-南宁第十四中学.DOC

既是定义又是公式 ——例谈圆锥曲线定义的公式化应用 南宁市第十四中学高中部 陈园 圆锥曲线的定义是圆锥曲线的核心内容，是本章的理论依据，它们的应用贯穿于整章的各个内容．那么如何才能灵活系统地应用它们去解决问题，下面谈谈我的一些经验体会，供大家参考． 我们知道，本章主要是用坐标法即代数法来研究圆锥曲线的，因此，应用圆锥曲线定义的关键是将它们公式化和坐标化． １．椭圆的定义：设点是椭圆上任意一点，是它的两个焦点，点到相应的准线的距离为．则有 （１）第一定义：； （２）第二定义：，； 　　第二定义的坐标化为：，． 类似可以得出椭圆焦点在轴上的第二定义的坐标化公式． ２．双曲线的定义：设点是双曲线上任意一点，是它的两个焦点，点到相应的准线的距离为．则有 （１）第一定义：； （２）第二定义：，； 第二定义的坐标化为：，． 类似可以得出双曲线焦点在轴上的第二定义的坐标化公式． ３．抛物线的定义：设是抛物线上任意一点到抛物线准线的距离，为抛物线的焦点。 （１）公式化： （２）坐标化： 　设点是抛物线上任意一点，则有 　　 　设点是抛物线上任意一点，则有 　　 　设点是抛物线上任意一点，则有 　　　　 　设点是抛物线上任意一点，则有 　　　　 综上所述，我们知道圆锥曲线的概念不但是一种定义，其实也是一种公式，这就给我们的应用带来很大方便．下面给予举例说明． 应用之一：解决距离问题 例１　已知双曲线上一点到它的左准线的距离为15，求点到右焦点的距离． 解：依题意有，根据双曲线的第一和第二定义得 　　，即；又，所以有或． ［评析］　根据椭圆和双曲线定义的公式化发现，在四种距离，中只要给出其中任一种就可以求出其他三种，即所谓“知一求三”。 应用之二：解决最值问题 例２　设为椭圆上任意一点，是它的两个焦点。求的最大值。 解：已知椭圆方程可化为，即，，，。 设，则＝。 又，所以最大值为５，最小值为４。 例３　已知点，是抛物线的焦点，点抛物线上一动点。求周长的最小值及取得最小值时点的坐标。 解：如图，过点作抛物线准线的垂线交于点， 则有的周长为 ， 又图中可知当三点共线时周长最小， 最小值为， 这时点的坐标为。 应用之三：解决离心率问题 例４　试判断方程表示的曲线，并求出它的离心率。 解：将已知方程化为，由此可得曲线表示点到定点的距离比上它到定直线的距离等于，根据椭圆的第二定义知方程表示椭圆，其离心率为。 应用之四：解决轨迹方程问题 例５　已知两个同心圆的半径分别为和 ，为小圆的一条直径，求以大圆的切线 为准线，且过点的抛物线的焦点的轨迹 方程。 解：以圆心为原点，直径所在的的直线为 轴建立直角坐标系，如图所示。设过大圆上任意 一点的切线为l，为以切线l为准线且过点的抛物线的焦点，过点分别做。依题意有。 　　　由椭圆的定义知点的轨迹为以为焦点的椭圆，其中， 其方程为。 　　　 应用之五：解决位置关系问题 例６　过双曲线的右焦点作直线交于右支于两点，则以为直径的圆与双曲线的右准线的位置关系是（　） （Ａ）相交　　（Ｂ）相切　　（Ｃ）相离　　（Ｄ）不能确定 解（略）（Ｃ）