求解广义平衡方程7-3虚功原理.PPT

§7-3 虚功原理（微分形式的变分原理） 一、虚功原理 受有理想约束[、 定常约束]的力学系统, 保持[静]平衡的必要[充分]条件是作用于该系统的全部主动力的虚功之和为零. 在直角坐标系中, 上式写成 §7-3 虚功原理（微分形式的变分原理） 当力学系统相对惯性系处于[静]平衡时, 必要条件的证明： 对理想约束 §7-3 虚功原理（微分形式的变分原理） 若系统的主动力虚功之和为零, 充分条件的证明： 对于受有理想约束的系统 力学系统的约束是定常的, 各质点的无限小实位移必与其中一组虚位移重合, 故系统的主动力和约束力的实功之和也满足上式 根据质点系的动能定理 说明系统开始时静止, 以后就会始终保持静止 §7-3 虚功原理（微分形式的变分原理） 几点说明： (1) 普适性. (2) 在变动中寻找平衡的条件. 例如单摆 (3) 与牛顿力学不同, 分析力学的方法不是将注意力放在区分内力和外力上, 而是放在区分主动力和约束力上. §7-3 虚功原理（微分形式的变分原理） 如图所示提升重物的装置 , 以把手端点的弧坐标s为广义坐标, 设重物距地面高度为h, 根据虚功原理 如果知道h和s的函数关系, 通过上式, 就可求出 (4) 虚功原理中所说的主动力所做虚功之和为零, 是对任意的虚位移而言的, 而不是针对特殊的虚位移 . 由于虚功原理的方程中不出现约束力, 因此不能由虚功原理求出约束力, 但是, 通过释放约束或用不定乘子法, 可以求出约束力 §7-3 虚功原理（微分形式的变分原理） 二、广义平衡方程 据虚功原理,有 为了得到广义平衡方程, 需要将虚功原理化为以广义坐标表述的形式. 展开后写成 在完整系中, §7-3 虚功原理（微分形式的变分原理） 推出, 广义平衡方程 虚功原理又可叙述为: 对于受完整的、定常的、理想约束的力学系统, 保持静平衡的必要充分条件是所有的广义力都为零. 对于主动力均为有势力的有势系, 有 所以,广义平衡方程成为 代入虚功原理中,有 §7-3 虚功原理（微分形式的变分原理） 三、虚功原理的应用 例题3 如图所示, 匀质杆OA, 质量为m1, 长为l1, 能在竖直平面内绕固定的光滑铰链 O转动, 此杆的 A端用光滑铰链与另一根质量为m2,长为l2的匀质杆 AB相连. 在 B端有一水平作用力 .求处于静平衡时, 两杆与铅垂线的夹角?1和 ?2. A l1 B l2 O x y 1、判断约束类型 是否完整约束?是否理想约束? 2、判断自由度 §7-3 虚功原理（微分形式的变分原理） 质量为m的小环P被限制在一个半径为R的光滑大圆环上,大圆环绕过大环中心的铅垂轴以?的角速度均匀转动,以小环为系统,试确定其自由度. 质点在球坐标系中用r,?,?描述 ? 非定常约束 3、分析受力(主动力) A B O x y §7-3 虚功原理（微分形式的变分原理） 4、由虚功原理 5、建立坐标系(必须是静止坐标系) 6、转化成广义坐标 §7-3 虚功原理（微分形式的变分原理） 广义力 广义力 广义平衡方程 §7-3 虚功原理（微分形式的变分原理） 可求出系统处于静平衡时?1，?2所满足的方程: 所以 §7-3 虚功原理（微分形式的变分原理） [法二] 先求出广义力,再写出平衡方程 s=2, 所以有2个广义力 §7-3 虚功原理（微分形式的变分原理） 虚功原理主要用于求解： (1)系统的静平衡位置； (2)维持系统平衡时作用于系统上的主动力之间的关系. §7-3 虚功原理（微分形式的变分原理） 应用虚功原理解题的主要步骤是： (1)明确系统的约束类型, 看是否满足虚功原理所要求的条件； (2)正确判断系统的自由度, 选择合适的广义坐标； (3)分析并图示系统受到的主动力； (4)通过坐标变换方程, 将虚功原理化成 的形式, 进而得出广义平衡方程 对有势系, 求出系统的势能V 后，可通过 得广义平衡方程; (5)求解广义平衡方程. §7-3 虚功原理（微分形式的变分原理） 四、利用虚功原理求约束力 1、利用释放约束的方法求约束力 例题4 试求例题3中O处的约束力. 代入虚功原理,得 可解出约束力: §7-3 虚功原理（微分形式的变分原理） 2、不定乘子法.(拉格朗日乘数法) 先设系统由1个质点组成, 受1个完整约束 用3个直角坐标作为描述系统位置的变量. 于是当系统平衡时, 应满足虚功原理 乘待定常数(不定乘子)? ，与前式相加, 得 §7-3 虚功原理（微分形式的变分原理） ?称为不定乘子,又称拉格朗 日乘子. 这种方法称为不定乘子法. 不定乘子?是一个与约束力有关的量. §7-3 虚功原理（微分形