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求解质点运动方程的问题
* 描述质点运动的物理量小结 一、时间和时刻 二、位置矢量 描述质点在空间位置的物理量 三、位移和路程 位移:描述质点位置的变化的物理量 * 路程(?s): 是一定时间内物体所经过路线的总长度 四、速度和速率 描述运动质点在某一时刻(某一位置)的快慢情况 * 五、加速度 加速度是描述速度变化快慢的物理量。 瞬时加速度 加速度的方向与?t 趋于零时 的极限方向一致。 加速度大小 * 描述指点运动的坐标系小结 一、曲线运动 1. 曲线的曲率与曲率半径 2. 法向加速度和切向加速度 * 二、圆周运动 速度: 当质点作圆周运动时: 圆周运动角速度 * 加速度 当质点作圆周运动时: 引入角加速度, 定义为 * * 2. 圆运动方程 (1)匀速圆周运动 设: (2)匀变速圆周运动 * 积分得: 形式上与直线运动的三个方程是相同的,只是线量与角量的区别 * 由初始条件定积分常量 * 例1:通过绞车拉动湖中小船拉向岸边, 如图。如果绞车以恒定的速率u拉动纤绳, 绞车定滑轮离水面的高度为h, 求小船向岸边移动的速度和加速度。 解:以绞车定滑轮处为坐标原点, x 轴水平向右, y 轴竖直向下, 如图所示。 x l h y o x x l h * 设:小船到坐标原点的距离为l, 任意时刻小船到岸边的距离x总满足 x 2 = l 2 ? h 2 两边对时间t 求导数, 得 绞车拉动纤绳的速率, 纤绳随时间在缩短, 故 ; 是小船向岸边移动的速率。 x l h y o x 负号表示小船速度沿x 轴反方向。 * 根据数学公式: * 小船的加速度随着到岸边距离的减小而急剧增大 * 例2:细棒以恒定角速度? 绕其端点O 旋转, 棒上套一小球, 小球以恒定速度u沿棒向外滑动。初始时刻小球处于点O, 求t 时刻小球的速度和加速度。 解: 根据速度的定义式: O * 可见小球的径向速度就是它沿棒滑动的速度, 横向速度则是t 的线性函数。 求得小球的速度 根据 * 由上式可以看到, 径向加速度是时间的线性函数, 横向加速度则为常量。 小球的加速度可表示为 : * 解:质点的切向加速度和法向加速度分别为 例3: 质点以初速 沿半径为R 的圆周运动, 其加速度方向与速度方向夹角?为恒量, 求质点速率与时间的关系。 分离变量 * 这就是所要求的速率与时间的关系。 得 积分 例4. 一质点由静止开始作直线运动,初始加速度为 a0 ,以后加速 度均匀增加,每经过τ 秒增加 a0 ,求:经过 t 秒后质点的速 度和运动的距离。 解:据题意知,加速度和时间的关系为: * 解: 此类问题从a与x的关系,求v与x的关系 即: 积分: 例题5 一质点沿x轴运动,其加速度和位置关系为a=2+6x。质点在x=0处的速度为 。求物体的速度和位置的关系。 * 习 题 1-4 现有一矢量R是时间t的函数,问 与 在一般情况下是否相等?为什么? 解: 与 在一般情况下是不相等的。因为前者是对矢量R的绝对值(大小或长度)求导,表示矢量R的大小随时间的变化率;而后者是对矢量R的大小和方向两者同时求导,再取绝对值,表示矢量R大小随时间的变化和矢量R方向随时间的变化两部分的绝对值。如果矢量R方向不变只是大小变化,那么这两个表示式是相等的。 * 1-12 设质点的位置与时间的关系为x = x(t),y = y(t),在计算质点的速度和加速度时,如果先求出 ,然后根据 和 求得结果;还可以用另一种方法计算:先算出速度和加速度分量,再合成,得v = 和 。你认为哪一组结果正确? 为什么? * 解 第二组结果是正确的。而在一般情况下第一组结果不正确,这是因为在一般情况下 速度和加速度中的r是质点的位置矢量,不仅有大小而且有方向,微分时,既要对大小微分也要对方向微分。第一组结果的错误就在于,只对位置矢量的大小微分,而没有对位置矢量的方向微分。 * 1-21 质点从倾角为? =30? 的斜面上的O点被抛出,初速度的方向与水平线的夹角为? = 30?, 如图所示,初速度的大小为v0 = 9.8 m?s?1 。若忽略空气的阻力,试求: (1) 质点落在斜面上的B点
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