漫谈中考数学中的数学思想之三——中考数学中的数形结合思想史承.DOC

漫谈中考数学中的数学思想之三 ——中考数学中的数形结合思想 史承灼 初中数学研究的主要对象大致可分为两大部分，一部分是数，一部分是形。每个几何图形都蕴藏着一定的数量关系，而数量关系往往又可以通过图形的直观性来进行描述。应用数与形之间的这种内在联系去解决数学问题的思想方法，就是所谓的数形结合思想。数形结合的思想方法在应用上大体又可以分为两种情形：一是借助于数量关系来解释形的某种属性；一是借助于形的直观性来探究某种数量关系。也就是说，数与形之中，一个为手段，另一个为目的。 一、形为手段，数为目的 1、借助数轴 例1（宁夏灵武市课改实验区）在一条东西走向的马路旁，有青少年宫、学校、商场、医院四家公共场所。已知青少年宫在学校东300 m处，商场在学校西200 m处，医院在学校东500 m处。若将马路近似地看作一条直线，以学校为原点，向东方向为正方向，用1个单位长度表示100 m。 ⑴在数轴上表示出四家公共场所的位置； ⑵列式计算青少年宫与商场之间的距离。 解析：⑴如图所示： ⑵300－（－200）＝500；或；或。所以，青少年宫与商场之间的距离是500 m。 2、借助三角形的有关知识 例2（河南省）如图，在一个房间内，有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA为a米，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB为b米，梯子的倾斜角为45°。这间房子的宽AB一定是（ ） A. B. C.b米 D.a米 解析：连接MN，过点N作NE⊥MA于点E。则∠MCN＝60°， ∵CM＝CN，∴△MCN为等边三角形，∴MC＝NM。易证：∠EMN＝60°＋（90°－75°）＝ 75°＝∠ACM，∵∠MEN＝∠CAM＝90°，∴△MEN≌△CAM，∴EN＝MA＝a米。即AB＝a米。所以应选D。 3、借助四边形的有关知识 例3（河北省）小明爸爸的风筝厂准备购进甲、乙两种规格相同但颜色不同的布料生产一批形状如图所示的风筝，点E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点。其中的四边形EFGH部分用甲布料，其余部分用乙布料（剪裁两种布料时，均不计余料）。若生产这批风筝需要甲布料30匹，那么需要乙布料（ ） A.15匹 B.20匹 C.30匹 D.60匹 解析：本题中的四边形EFGH即为人们通常所说的所谓“中点四边形”。我们知道，任意凸四边形的“中点四边形”一定是平行四边形（这里应是矩形），且“中点四边形”的面积为原四边形面积的一半，因此需要乙布料应为30匹。应选C。 4、借助圆的有关知识 例4（上海市）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，⊙A的半径为1。若点O在BC边上运动（与点B、C不重合），设BO＝x，△AOC的面积为y。 ⑴ 求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； ⑵ 以点O为圆心，BO长为半径作⊙O，求当⊙O与⊙A相切时，△AOC的面积。 解析：⑴过点A作AH⊥BC于点H。∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝，∴BC＝4，AH＝BC＝2，∴S△AOC＝AH·CO＝4—x，即y＝－x＋40＜x＜4t△AOH中，，∵⊙A的半径为1，⊙O的半径为x，所以 ①当⊙A与⊙O内切时，，解得，此时△AOC的面积为；②当⊙A与⊙O外切时，，解得，此时△AOC的面积为。所以当⊙A与⊙O相切时，△AOC的面积为或。 5、借助函数及其图象 例5（浙江省杭州市）方程的正根个数为（ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 解析：若按常规去解原方程显然较为困难，若设和 ，则这两个函数图象在第一、第四象限的交点个数即为原方程的正根的个数。在同一个坐标系中画出上述两个函数的大致图象如图， 可知这两个图象在第一、第四象限内没有交点，所以原方程没有正根，应选A。 6、借助图形寻找规律 例6（新疆乌鲁木齐市）王老师为调动学生参加班级活动的积极性，给 每位学生设计了一个如图所示的面积为1的圆形纸片，若在活动中表现优 胜者，可依次用彩色纸片覆盖圆面积的。请你根据数形结合 思想，依据图形的变化，推断当n为正整数时， 。 解析：依据图形的变化，覆盖一次，覆盖的面积为；覆盖两次，覆盖的面积为；覆盖三次，覆盖的面积为；……；覆盖n次，覆盖的面积为。所以。 二、数为手段，形为目的 1、利用数与式的有关知识 例7（辽宁省）如图，正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内部画半圆，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 解析：四个叶形面积之和为四个半圆面积之和与正方形面积之差， 即为 ，而阴影部分的面积为四个叶 形面积之和的一半，即，所以应选A。 2、利用