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风险函数 代表游程在长度为i时结束的概率，假设泡沫持续到i期。与概率密度函数不同，风险函数描述的是条件概率，而非无条件概率，选择哪一种函数取决于所要研究的问题。该文要求正的超额回报游程结束的条件概率，因此采用的是风险函数。风险函数和概率密度函数之间的关系如下： ， （13） * 从等式（12）和（13），我们可以得出风险函数的对数似然函数： （14） 和 分别是全部和部分（partial）游程长度大于i的数量，在大样本中，它们可以略去。要进行久期依赖检验，必须选择一种风险函数的函数形式： （15） 无泡沫的初始假设意味着游程结束的概率与以前的回报无关或者说出现正超额回报和负超额回报是随机的，也就是说， 必须等0。而泡沫存在的备择假设意味着正超额回报游程结束的概率随着游程的增长而变小，即 。 将等式（15）代入（14）进行最大似然估计，就可计算出 和 的值。 * （三）、实证结果 该文检验的是从纽约股票交易所的1927－1991所有股票组成的等权重和价值权重组合形成的按连续复利计算的月实际超额回报。最后结果发现两个组合的回报的分布都发生显著的偏斜，有趣的是，等权重组合的回报分布是正偏斜，而价值权重的回报分别是负偏斜的。另外，也存在着显著的肥尾和自相关的现象。这些现象可能是由泡沫造成的，也有可能是由基本价值造成的，所以该文用了久期依赖检验 * 要进行久期依赖检验，必须先得出超额回报的序列，这是通过以下两个回归等式的残差项得出的： 和 分别是等权重和价值权重组合的连续复利实际月回报，TERM是期限溢价， 是红利收益率，括号中的是t统计量。之所以将TERM和 加到回归等式中去，是因为Fama和French(1989)发现它们对随时间变化的风险溢价有很强的预测能力。 通过回归发现等权重组合有416个月的正超额回报（53.3％），364个月的负超额回报（46.6％）；价值权重组合有425个月的正超额回报（54.5％），355个月的负超额回报（45.5％）。 * 久期检验的结果：等权重组合的正的超额回报的风险函数的 值为－0.283，而负的超额回报的风险函数的 值为－0.085，非常接近于0。无泡沫即不存在久期依赖（ ）的初始假设的似然比率检验(LRT)的结果为：对于等权重组合的正超额回报，无泡沫的初始假设在0.05的p值上被拒绝，而对负超额回报，初始假设无法被拒绝。对于价值权重的正超额回报，无泡沫假设在0.03的p值上被拒绝，同样，对于负超额回报，初始假设无法被拒绝。 * 该文还进行了敏感性检验(Sensitivity test)，通过改变超额回报的形式（采用名义的超额回报和超额回报的超额回报）、样本期、 用来计算超额回报的预期回报（即 和 ）及风险函数的形式，来检验等权重组合和价值权重组合的似然比率检验的敏感性，结果发现等权重组合的正超额回报的似然比率检验拒绝初始假设的结果更强一点。 * 最后，该文还进行了理性检验(Rationality test)。从上面久期依赖检验的结果中我们可以得出一个交易规则：即在观察到连续几个月的正超额回报后买入股票，这样将有更大的概率获得超额回报。但是，若泡沫是理性的，预期的超额回报将为零，这一交易规则失效。因为泡沫持续期内大概率的正超额回报将会被泡沫破灭时小概率的巨额的负超额回报所抵消。经过理性检验，发现超额回报的均值为常数，且非常接近零且其偏斜度显著为负，这正好符合理性泡沫的性质。 * 2、Peter Rappoport和Eugene N.White 该文主要是从20世纪20年代末经纪人贷款市场的经纪人贷款利率的变动来检验是否存在泡沫的。他们认为泡沫往往是在基本价值难以确定的时候才会产生的，而20年代末的情形正是如此，一些公司采用了新的生产方法，从而使得投资者难以评估它们的价值。在检验是否存在泡沫的时候，他们主要利用了保证金贷款的利率和数量的数据因为20年代美国股市繁荣的一个重要特征是投资者用保证金贷款去购买股票，所以保证金贷款利率的高低包含了借款人对可能出现的泡沫的预期。通过分析1920－1934的数据，结果发现在股市繁荣期间，保证金贷