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1基本概念 第六章：球面三角 第一节：球面几何 练习： （1）正方体的全面积是a,它的顶点都在球 面上，这个球的表面积是（ ）。 （2）球的半径为R，则它的外切正方体的 棱长为（ ），内接正方体的棱长为（ ）。 一、 平面与球面、直线与球面的位置关系 1、平面与球的位置关系： 类比直线与圆的位置关系，来探究平面与球的位置关系。 相交、相离、相切 结论： 一个平面与球面相交，所得的交线是一个圆，且圆心与球心的连线垂直于这一平面。 用一个平面截一个球，截面是圆面。请同学们思考什么时候是小圆，什么时候是大圆？ 2、直线与球面的位置关系： 同样，类比直线与圆的位置关系，来探究直线与球的位置关系。 结论： 把球心O到直线L的距离记为OH， 当OHR时，相离，直线与球没有公共点； 当OH=R时，相切，直线与球只有一个公共点； 当OHR时，相切，直线与球有两个公共点。 三、球幂定理 二、球面上的一些基本图形 1、大圆：当平面过球心时与球面所截成的圆最大，称为大圆； 小圆：当平面不过球心时所截的圆称为小圆； 2、优弧、劣弧：过球面上两点一定可以作一 个大圆。（球面上两点间的距离即劣弧长） 球面上连接两点的最短路径是经过这两点的 一段大圆弧——劣弧。 定理二：大圆分球和球面为相等的两部分； 定理三：过球面上不在同一直径两端的两点，能作且只能作一个大圆，却能作无数个小圆，但如果通过同一直径两端的两点，则能作无数个大圆而不能作小圆； 定理四：两个大圆平面的交线是球的直径也是这两个大圆的直径，并且两个大圆互相平分。 3、球面距离： 定理五：球面上两点间小于180度的大圆弧（劣弧）的长是该两点间的最短球面距离，简称球面距离。 （1）、轴：垂直于任一圆面的球直径； （2）、极：轴与球面相交的两点； （3）、 3、球面角：记作（类比平面中的角）如何度量球面角？——两平面构成的二面角。 4、球面二角形：也叫月形，是球面上两个有公共直径的半大圆所夹的部分。 思考：球面二角形的面积？ 球面可以看成是球面角为 的月形。 5、球面三角形 （类比平面三角形） 不在同一条直线的三点——不在同一大圆上的三点 边、顶点、内角 球面几何学中最简单、最重要的图形 三面角：如何度量内角和边长？ 6、对顶三角形 对径点：球的直径的两个端点。 7、球极三角形 极点、赤道圆 性质1： 性质2： 1、球面：半个圆周绕其直径旋转360而成的旋转面称球面（在空间与定点等距离的点的轨迹）； 2、球：球面所包围的几何体称球； 3、球面上的圆： （1）大圆(great circle)：过球心的平面和球面相截的截痕。 （2）小圆(small circle)：不过球心的平面和球面相截的截痕。 ①过球面上不在同一直径两端的任意两点，只能有一个大圆，却能作无数个小圆。 ②一个球面上不可能有两个大圆平行，两个大圆的平面的交线是他们的直径，并且两个大圆互相平分。 顺次连接A、B、C三点的对径点A`、B`、C`得到的三角形。 对顶三角形面积相等（板书）。 顺次连接A、B、C三点的对径点A`、B`、C`得到的三角形。 对顶三角形面积相等（板书）。