计算机辅助几何设计幻灯片.ppt

2) 控制顶点的反求 在实际应用中往往是知道曲线上的型值点,而并不知道特征多边形顶点的位置,为构造B样条曲线,就需要由这些型值点反求出特征多边形的顶点,这就是B样条曲线顶点的反求. 设已知型值点列Qi(i=1,2,…,n-1), 要求一条三次B样条曲线经过这些点,求出这条曲线的控制顶点Pi(i=0,1,…,n). 由曲线的端点性质可得下列线性方程组: Pi-1+4Pi+Pi+1=6Qi (i=1,2,…,n-1) 再补充两个边界条件就可得到唯一解. 例如,已知Q1和Qi-1处的切矢,则有 把它们写成矩阵形式为 5.1.5 非均匀有理B样条（NURBS）曲线 它提供了解析曲线(如圆锥曲线)和自由曲线统一的数学描述,便于工程数据库的管理和应用. NURBS曲线的定义: 给定n+1个控制点Pi(i=0,1,…,n)及其权因子Wi (i=0,1,…,n),则k阶(k-1次)NURBS曲线的表达式为: 缺点:计算量大、当权因子为零和负值时容易引起计算的不稳定，导致曲线畸变，因此使用NURBS时应有适当的限制以保证算法的稳定性。 5.2 自由曲面 5.2.1 参数曲面的概念 5.2.2 双三次曲面片的数学表示 5.2.3 曲面的反算、拼接和互化 5.2.4 新的自由曲面造型技术 5.2.1 参数曲面的概念 P(u,w)=[x(u,w),y(u,w),z(u,w)] 0=u,w=1 0 1 1 u w (u,w) u和w向切矢： 四个角点的u向和w向切矢为：Pu(0,0)、 Pu(1,0)、 Pu(0,1) 、Pu(1,1)、Pw(0,0)、 Pw(1,0)、 Pw(0,1) 、Pw(1,1). 混合偏导矢（扭矢）： 四个角点的扭矢为： Puw(0,0)、 Puw(1,0)、 Puw(0,1) 、Puw(1,1) 5.2.2 三次曲面的数学表示 双三次曲面片的代数形式为 其矩阵表达式为 其中， 构造双三次曲面片的的关键是确定矩阵方程中的系数矩阵。 1. 孔斯（Coons）曲面 由曲面四个角点、每个角点处的两个切矢及四个角点处的混合偏导矢（扭矢）确定曲面。 Coons曲面的特点： 属于构造插值曲面的方法，曲面构造的几何意义明确且曲面的表达式简洁，主要用于构造那些通过给定型值点的曲面，而不适用于进行曲面的设计。这是因为： ? 在曲面设计的初级阶段，设计者对其所设计产品的外形仅有一个非常粗略的概念。为得到满意的外形，需要不断地修改型值点的位置。上述方法对位置尚未最后确定的型值点构造插值曲面，显然是不合理的。 ? 由于扭矢的几何意义不很明显，工程设计人员难以把握，因此难以提供精确的角点信息，使曲面的形状不易控制。 ? 不具备局部性。修改任意一个型值点都会影响整张曲面的形状，而其形状变化又难以预测。 2. Bezier曲面 用控制多边形网格（特征网格）替代点矢、切矢与扭矢构造Bezier曲面。 双三次Bezier曲面片 可以认为控制网格是曲面P(u,w)大致形状的勾画；P(u,w)是对控制网格的逼近。 Bezier曲面的特点： Bezier曲面是以逼近为基础的曲面设计方法。它先通过控制顶点网格勾画出曲面的大体形状，然后通过修改控制顶点的位置修改曲面的形状。这种构造方法比较直观，易于为工程设计人员所接受，因而获得了广泛的应用。 这种方法不具有局部性，即修改任意一个控制顶点都会影响整张曲面的形状。 3. B样条曲面 用控制多边形网格（特征网格）替代点矢、切矢与扭矢构造曲面 双三次均匀B样条曲面片 注意:Ni,3(t)为3次均匀B样条基函数. 特点： B样条曲面构造方法是Bezier曲面方法的推广，它用B样条基函数代替Bezier方法中的Bernstein基函数来反映控制顶点对曲面形状的影响。它在保留了Bezier曲面设计方法几乎所有优点的同时，解决了Bezier曲面设计中存在的局部性修改问题。 4. 非均匀有理B样条曲面（NURBS） 给定一张(m+1)x(n+1)的网格控制点 Pij (i=0,1,…,m; j=0,1,…,n),以及各控制网格点的权值Wij (i=0,1,…,m; j=0,1,…,n)，则其确定的NURBS曲面的表达式为： 优点： 规则曲面与自由曲面精确的统一的数学表示。 有多种方式定义曲面，但构造这些曲面的数学基础以及在造型系统中存储它们的方法是相同的。 NURBS方法已成为众多CAD/CAM系统的基本几何表达式和数据交换标准。 5.2.3 曲面的反算、拼接和互化 反算 1）实际应用背景 2）反算算法 第1步：将一个参数方向上的型值点（如u方向）依次按曲线反算方法反算出一系列点；