自动控制理论教学课件作者李素玲3_5课件幻灯片.ppt

3.5 线性系统的稳定性分析 3.5.1 稳定性的基本概念 3.5.2 线性系统稳定的充要条件 3.5.3 古尔维茨判据 3.5.4 劳斯判据 3.5.5 稳定判据的应用 第三章 时域分析 3.5.1 稳定性的基本概念 实际中关于稳定性的实例很多，如：设计振 荡器最关心振幅和频率的稳定性，适当选择电路 结构和参数，使电源电压、负载和环境变化时都 能得到几乎恒定的振幅和频率，才符合要求。再 如：收音机若有自激，就会啸叫，无法收听。而 电视机若不稳，无法看图像等等。 可见：自控系统的稳定性十分重要。一个系统一 旦受到外界或内部干扰，就偏离原来的平 衡工作状态，且越来越远，扰动消失后 第三章 时域分析 也不能恢复原状，显然无法满足要求，也无法正常工 作。因此，稳定性是系统正常工作的首要条件及重要 性能。分析稳定性并找出保证系统稳定的条件，是设 计的基本任务之一。 任何系统在扰动作用下都会偏离原平衡状态，产 生初始偏差。 线性系统的稳定性分析（续） 第三章 时域分析 系统的稳定性 — 是指系统在扰动消失后，由初 始偏差状态恢复原来状态的性能。若能恢复则为稳定 系统；若不能恢复且偏差越来越大，则为不稳定系统。 设： 拉氏变换有： 3.5.2 线性系统稳定的充要条件 第三章 时域分析 其中 是与初始状态有关的s多项式 线性系统的稳定性分析（续） 第三章 时域分析 取消扰动后，系统的恢复能力应由瞬时分量决定， 与输入无关。 只要有： 系统一定稳定。 可见：各子项必须均趋于零才行，即 线性系统的稳定性分析（续） 第三章 时域分析 ◆若出现共轭复数根，则有： 若要系统稳定，必须前三项在 时均为零。 稳定的充要条件（续） 第三章 时域分析 及 故仍有： ◆若有重根，如有 则瞬时分量中相应出现： 稳定的充要条件（续） 第三章 时域分析 可见：只要有一个根的实部为正，则系统不稳，分量 发散. ★系统稳定的充要条件为： 系统特征方程的根（即闭环极点）都为负实数或都具 有负的实部。亦即，特征根都严格位于s左半面上。 因此，要判断一个系统是否稳定，需求出系统的全 部特征根。 稳定的充要条件（续） 第三章 时域分析 二阶： 当 均大于零时， 均小于零，系统稳定。 这对于一、二阶系统很简单： 稳定的充要条件（续） 第三章 时域分析 但对于三阶及三阶以上的系统，求特征根判断稳定性显然不现实。所以，人们需要寻求一种不需要求解高阶代数方程而能判断稳定性的间接方法。劳斯判据和古尔维茨判据就是这样的稳定性判别方法：利用特征方程的各项系数进行代数运算，得到全部极点为负实部的条件，以此条件判断稳定性。 稳定的充要条件（续） 第三章 时域分析 3.5.3 古尔维茨判据 设 作系数行列式： 第三章 时域分析 行列式中对角线各元素为特征方程中自第二项开始 的各项系数。每列皆以对角线的元素为准，系数a 的角标向上 依次上升，向下依次下降，当写到特征 方程中不存在的系数时，补零。 古尔维茨判据（续） ★系统稳定的充要条件：在 的条件下，各阶主 子式均大于零，否则系统不稳。 即对系统要求： 第三章 时域分析 所以系统不稳，无须再计算 古尔维茨判据（续） 第三章 时域分析 由于这种方法计算高阶行列式比较烦琐，故一般以 四阶及四阶以下为好。另外，为减少工作量， 林纳德—奇帕特证明：在特征方程所有系数均大 于零的前提下，稳定的充要条件为：所有奇数次古 氏行列式均大于零，或者是所有偶数次古氏行列式 均大于零。这样可以减少一半工作量，更可以避免 计算最高次行列式。 均大于零，用林—奇判据。 例2． 古尔维茨判据（续） 第三章 时域分析 ∴系统稳定。 古尔维茨判据虽然适合于低阶系统，但只能判稳与 不稳，不能给出其它信息，比如系统不稳时有几个 右根？虚轴上有无根？若有，等于什么？等等。而 且高阶系统也不实用。而劳斯判据不仅适用于任何 阶系统，更能解决上述的各种问题。 古尔维茨判据（续） 第三章 时域分析 3.5.4 劳斯判据 列劳斯表： 第三章 时域分析 ★系统稳定的充要条件：劳斯表中第一列元素的所有 值均大于零，否则系统不稳，且第一列各元素符号的改变次数，代表特征方程正实部根的数目。 劳斯判据（续） 例3． 解： 所以系统不稳， 且有两个右根。 第三章 时域分析 例4． 解： 所以系统不稳， 且有两个右根。 [为简化计算，可用某个正数去乘或除劳斯表中任意一行的系数