排1课件幻灯片.ppt

* (3) 出故障的平均台数 (4) 等待修理的平均台数 (5) 故障平均停工时间 (6) 平均等待修理时间 (7) 评价这些结果 解:(1) ∵ m=5,λ=1/15,μ=1/12,ρ=4/5=0.8 * (2) (3) 台 (5) 分钟 (4) 台 分钟 (6) (7) 机器等待过长，忙期长，应增加维修工人或提高效率。 * * 即： 同理方差为： * 其概率密度函数为： t0 ∴ t0 ∵没有顾客到达的概率为： (由（5）式而来) 2.负指数分布 当输入过程是普松流时，我们研究两顾客相继到达的时间间隔的概率分布。 设T为时间间隔，分布函数为FT（t），则： FT（t）=P{T≤t} 此概率等价于在[0，t）区间内至少有1个顾客到达的概率. * 由前知，λ表示单位时间内顾客平均到达数，这里1/λ表示顾客到达的平均间隔时间，两者是吻合的。 可以证明，间隔时间T独立且服从负指数分布与顾客到达形成泊松流是等价的。 下面我们再谈一下服务时间的分布： 对顾客的服务时间ν，实际是系统处于忙期时两顾客相继离开系统的时间间隔，一般地也服从负指数分布，设： 即T服从负指数分布，由概率论知它的期望及方差为： * 其中：μ表示单位时间内能被服务的顾客数，即平均 服务率。 1/μ表示一个顾客的平均服务时间。 3.爱尔朗(Erlang)分布 设v1, v2，…, vk是k个独立的随机变量，服从相同参数kv的负指数分布，那么： ，则 令 ，则ρ称为服务强度。 * 串联的k个服务台，每台服务时间相互独立，服从相同的负指数分布（参数k?），那么一顾客走完k个服务台总共所需要服务时间就服从上述的k阶Erlang分布。 则称T服从k阶爱尔朗分布.其特征值为: , 的概率密度是 * 例:有易碎物品500件,由甲地运往乙地,根据以往统计资料,在运输过程中易碎物品按普阿松流发生破碎,其概率为0.002,现求:1.破碎3件物品的概率;2.破碎少于3件的概率和多于3件的概率;3.至少有一件破损的概率. 解:1.求破碎3件物品的概率: ∵ λ=0.002×500=1 则 P(k=3)=(?3/3！)e-?=(13/3！)e-1=0.0613 即物品破碎3件的概率为6.13? 2.破碎物品少于3件的概率: * ∴ 破碎物品少于3件的概率为91.97? 破碎物品多于3件的概率为: 3.至少有一件破碎的概率为 P{k?1}=1-(1k/k!)e-?=1-(10/0!)e-1=0.632 * 以后各节将介绍几个常见的排队模型。对排队模型，在给定输入和服务条件下，主要研究系统的下述运行指标： (1)系统的平均队长Ls(期望值)和平均队列长Lq期望值； (2)系统中顾客平均逗留时间Ws与队列中平均等待时间Wq； 本节只研究M/M/1模型，下面分三种情况讨论： §4.M/M/1模型 * §4.1 标准的M/M/1模型 标准的M/M/1模型即为[M/M/1]:[∞/∞/FCFS]模型 1.稳态概率Pn的计算 为分析模型，首先要确定在任意时刻t，状态为n（系统中有n个顾客）的概率Pn(t)(瞬态概率)，它决定了系统的运行特征。 已知顾客到达服从参数为λ的普阿松过程，服务时间服从参数为μ的负指数分布。现仍然通过研究区间[t，t+Δt）的变化来求解。在时刻t+Δt，系统中有n个顾客不外乎有下列四种情况（2个以上没列入）。 * 由于这四种情况是互不相容的，所以Pn(t+Δt)应是这四项之和，将所有的高阶无穷小和并，则有： * 令Δt→0，得关于Pn(t)的微分差分方程： ……(1) 当n=0时，只有表中的（A）、（B）两种情况，因为在较小的Δt内不可能发生（D）（到达后即离去），若发生可将Δt取小即可。 * ∴ ∴ ………(2) 这种系统状态(n)随时间变化的过程就是生灭过程（Birth and Death Process）,它可以描述细菌的生灭过程。 对于方程(1)、(2)求解很麻烦，即便求得解也是瞬态解,无法应用。为此,我们只要求得稳态解即可。 稳态时，Pn(t)与时间无关,可以写成Pn, 它对时间的导数为0，所以由(1)、(2)两式得： * ………(3) ………(4) 上式即为关于Pn的差分方程。由此可得该排队系统的状态转移图： 由（4）得： 其中ρ——服务强度 将其代入（3）式并令n=1,2,…(也可从状态转移图中看出状