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第一节 n维欧氏空间 第二章 n 维空间中的点集 ⒈度量空间 定义：设X为一非空集合，d : X×X→R为一映射，且满足 ⑴ d(x,y)≥ 0，d(x,y)=0当且仅当x = y（正定性） ⑵ d(x,y)=d(y,x) （对称性） 则称(X,d)为度量空间. ⑶ d(x,y)≤ d(x,z)+d(z,y)（三角不等式） 例： ⑶ C[a,b]空间(C[a,b]表示闭区间[a,b]上实值连续函数全体), 其中 ⑴欧氏空间（R n , d）,其中 ⑵离散空间(X , d)，其中 ⒉欧氏空间中各类点的定义 接触点、聚点 不一定属于E 孤立点一定属于E 点P0的δ邻域： P0为 E的接触点： P0为 E的聚点： P0为 E的孤立点： 记 为 E的闭包（接触点全体） 记 为 E的导集（聚点全体） 欧氏空间中各类点的定义 边界点不一定属于E 内点一定属于E P0为 Ec的内点: P0为 E的内点： P0为 E的外点： P0为 E的边界点： 记　 为 E的内部（内点全体） 记 为 E的边界（边界点全体） 注：接触点、聚点、边界点不一定属于E， 内点、孤立点一定属于E。 例（1）令 E = Q ， 则 （2）令E={1,1/2,1/3,…，1/k,…},则 对一切1/k (k=1,2,3, …)均为E的孤立点。 接触点、聚点表示它与集合紧挨 内点表示它周围的点都在集合内 由定义可知 外点、接触点、内点的关系 P0为 E的接触点： P0为 E的内点： P0为 E的外点： 例 设p0是E的聚点, 证明p0的任意邻域内至少含有无穷多属于E而异于p0的点. 这与（*）矛盾， 所以 为无限集。 证明：由条件知 P0 δ Pn 例 E中的孤立点集或为有限集或为可数集。 这与（*）式矛盾， 所以　　　　　　　是一簇两两不交的开区间， 从而A至多可数。 证明：设A为孤立点集， ，由孤立点 的定义知 ⒊聚点的等价描述 证明： 显然，下证 定理：下列条件等价： (1) p0为E的聚点 (3)存在E中互异的点所成点列{pn}, 使得 P0 δ Pn 定义：称点列{pn} 收敛于p0 , 记为： (2)点p0的任意邻域内，含有无穷多个属于E而异于p0的点 设p0是E的聚点，证明存在E中的互异的点所成的点列{pn}使 则上述取出的点列Pn是互异点列,且 证明：由聚点的定义知 保证收敛 保证点列互异 P0为 E的接触点： P0为 E的聚点： 注：聚点的等价条件的证明中 ，1/n是为 了保证收敛，而d(pn-1,p0)是为了保证点列两两互异，但证明接触 点时，无法保证d(pn-1,p0)不为0，所以不能保证点列两两互异。 p0是E的聚点的充要条件为存在E中的互异的点所成的点列{pn}, 使得 P0 δ Pn p0为E的接触点的充要条件为存在E中点列{pn}, 使得 * *