实变函数23课件幻灯片.pptVIP

制作人：南平187寝室 §2.3 可测函数 制作人：南平187寝室 , 广义实函数：形如f：X → 的映射，其中 = R .不过f取值 有其方便之处，但是也可能引起麻烦. 注意： 但是 等依然被认为是无意义的。 ｛ ｝ 制作人：南平187寝室 而且，此处的正无穷和微积分学中的“无穷大量”不能混为一谈，后者的 是变量，而此处 是广义实数！ 在R中定义的序关系 ，上确界，序列极限及无穷级数等概念，亦应作相应补充以用于出现 的情况。描述 中的极限已不可使用传统的“ε-语言”.但关于上极限和下极限的定义式§1.1（15），（16）仍适用于 中，只是他们可能取 . 中的序列极限就定义为 ，只要上式中后一等号成立. 制作人：南平187寝室 实变函数论限于考虑可测函数类，因为只有对可测函数才便于应用测度论. 用测度论研究函数f，通常需要按其函数值分解定义域X为 ｛ ｝（ ）, 其中 ….自然要求形如 { }的 集均可侧，而这又归于要求形如｛ ｝的集可测. 定义2.3.1 设 是X上的实函数.若 ， 集X（ ）恒可测，则称 为X上的可测函数. 制作人：南平187寝室 可测函数的定义完全不涉及测度 ，仅依赖于 代数A,在必要注明A时也称为“A-可测”. 通常将测度空间当做整体看待，提到 时认定其定义域A已确定.在这个意义上，也说 为 -可测.若 （普遍使用n维Lebesgue测度），则称X上的可测函数为Lebesgue可测函数，简称可测函数. 例1 制作人：南平187寝室 设f c ,则f可测，因为显然有 例2 设 则 由此可见， 可测 A可测. 制作人：南平187寝室 例3 设 是 上的增函数，则对任给 , 是一个区间或空集，因而可测.可见 是可测函数. 三个例子特殊，但是很典型. 制作人：南平187寝室 命题2.3.2 对于X上的一个实函数 ,以下诸条件互相等价； （i） ； （ii） ，集 可测； （iii） ，集 可测； （iv） ，集 与 可测； （v）任意开集 ，集 与 可测； 制作人：南平187寝室 （vii）任给闭集 ，集 与 可测； 结合2.3.2与1.5.6易得出： 推论2.3.3 设 ，则 上的连续函数均可 可测，即 . 对 的实函数 ， ， ，除施行熟悉 的代数运算（如 ， ， ）外，还可以定 义以下运算： 制作人：南平187寝室