实变函数论课件5课件幻灯片.ppt

第5讲 n维空间中的点集 目的：掌握n维空间中集合的内点、边界点、 聚点、开集、闭集等概念，熟练理解 Bolzano-Weirstrass 定理、 Borel 有限 覆盖定理，能运用这些定理解决一些 问题。 重点与难点：Bolzano-Weirstrass定理、 Borel有限覆盖定理。 第5讲 n维空间中的点集 一．聚点、内点、边界点与Bolzano- Weirstrass定理 问题1：给定Rn中一个集合E及点P，P与 E有几种可能的关系？ 第5讲 n维空间中的点集 定义1 设 ， （i）若存在 ，使 ，则称 为 的内点。 （ii）若对任意 ， 则称 为 的边界点。 （iii）若对任意 ， 中总有 中除 外的 点，即 ,则称 为 聚点。 第5讲 n维空间中的点集 不难看到，如果对任意 ， ， 则 中一定含 中无穷多个点。 定义2 若 ，则 的聚点全体记作 ，称为 的导集， 称为 的闭包，记为 。 定理1 的充要条件是 为 的一个极限点， 即存在一串互异的 ，使得 。 第5讲 n维空间中的点集 证明：充分性由聚点的定义不难得到。为证必要性，令 ，由于 ，故 ， 取 中可能有相同者，为避免这种情况发生，不妨取 ，则存在 ，使 第5讲 n维空间中的点集 ，再取 ， 假如已取到 个互不相同的点 ， 且 ，则取 ， 显然 第5讲 n维空间中的点集 但 ，于是可取 从而 互不相同。由归纳法知可找到一串互异的点 满足 。 证毕。 第5讲 n维空间中的点集 定理2 若 ，则 。 定理3 若 ， 则 第5讲 n维空间中的点集 定理3的证明： 由于 ，由定理2立得 。现设 ，则对任意 ， ， 从而 含 或 中点，由定理1，知存在一串互异的点 ，使 第5讲 n维空间中的点集 中必有无穷多个都属于 或都 属于 ，不妨设 ，则由