实变函数论课件10课件幻灯片.ppt

第十讲 开集的可测性 （提示：利于闭集套定理） 20、如果 可测， ，记 证明 也可测，且 21、设 是零测集，证明 是零测集。 第十讲 开集的可测性 22、设 可测， 是含x0的任 一开区间，若下列极限存在 ，则称d是E 在点x0的密度，显然 ，如果 称x0 是E的全密点。 （i）点a是否是 的有密度的点？ （即d0） 第十讲 开集的可测性 (ii)作一集合E，使它在给定点x0具有 密度，且密度等于事先给定值 23、设 是可测集，证明 也是可测集，且 24、设 是可测集， 是旋转变换： 第十讲 开集的可测性 证明：UE也是可测集,且 25、设 是可测集， ，如果E 的可测子集列 满足，证明： 第十讲 开集的可测性 三．复习 （1） 可测集的定义 （2） 可测集的结构 （3） 练习题评讲 作业：P53 11，12，15 第10讲 开集的可测性 目的：熟悉一些常见的可测集，了解Borel 集类与Lebesgue集类的差别。 重点与难点： 第10讲 开集的可测性 基本内容： 一．Borel集 问题1：按Lebesgue可测集的定义，我们所 熟悉的哪些集合是可测的？ 第10讲 开集的可测性 问题2：由Lebesgue测度的性质以及上面所熟悉的可测集，还能构造出哪些可测集？所有这些可测集构成什么样的集类？ 第10讲 开集的可测性 （1）??? 开集与闭集的可测性 命题1 Rn中任意开长方体都是可测的，且 。 证明：我们在前一节已经证明对任意开长方体I，有 ，所以只需证明I是可测的就行了，又由关于可测集定义的讨论，我们只要证明对任意开长方体J，有 第10讲 开集的可测性 注意到 仍是个长方体， 故不难得知 （这与证明 类似）因此 从而I可测。证毕。 第10讲 开集的可测性 定义1 Rn中的集合 称为左开右闭长方体。 与直线上开集的构造有所不同，Rn中的开集未必可以表示成互不相交的开长方体的并，但可以表示成互不相交的左开右闭长方体之并，即 第10讲 开集的可测性 引理1 Rn中的非空开集G都可表示成最多可数个互不相交的左开右闭的长方体之并，即 是左开右闭长方体。 证明：对每一正整数K,Rn可以分解成可数个形如 mi是正整数）的互不相交的左开右闭长方体之并。假设K=1时上述长方体中完全包含在G内的那些为 第10讲 开集的可测性 （有限或可数个）。对于k1，用 表示上述那些完全被G包含但与任何 不相交的长方体。这样就得到可数多个左开右闭的长方体 且它们互不相交，并满足 。如果 ，则存在 ，使 注意到 故当k充分大时，含x的形如Bk的长方体一定完全包含在 中，从而也包含在G ，所以 一定在某个 中，即 第10讲 开集的可测性 于是， （2）??? Gδ型集、Fб型集、Borel集 定理1 Rn中的任意开集、闭集、F?型集、 G?型集均为可测集。 证明：由命题1知任一左开右闭长方体J 可测且mJ=|J|，从而由引理1知任意开集可测，进一步闭集、F ?型集、G ?型集均可测。证毕。 第十讲 开集的可测性 注：从定理1可知，可数个F6型集或G8型集的并或交仍是可测的。事实上，由开集经过可数次的交、并、差运算后，所得的集合仍然是可测集。于是，由Rn中所有开集经过上述运算而得的域就是一个可测集类。我们将这个集类记作B（Rn）或B，称为Rn中