实变函数论课件25课件幻灯片.ppt

第25讲 有界变差函数 证明：任取 的一个分划 ， 对应到 的一个分划 ，于是 ，进而 ，证毕。 第25讲 有界变差函数 性质6 设 f 是 上的有界变差函数，c 是 内任一数，则 。 证明：由全变差定义，对任意 ，可以找到分划 及分划 ，使得 ， 。 将 合并起来得 的一个分划 ，于是由 及 得 ， 由 的任意性立得 。 第25讲 有界变差函数 第25讲 有界变差函数 反之，对任意 ，设 是 的一个分划，满足 ， 则对任意 ，存在 ， 使得 ，于是 进而 ，任由 的任意性得 ，所以 ，证毕。 第25讲 有界变差函数 第25讲 有界变差函数 性质7 若 是 上的有界变差函数列， 是有界数列，且 处处收敛到 ，则 g 也是 上的有界变差函数，且 。 所以 ，证毕。 第25讲 有界变差函数 证明：记 ，任取 的一个分划 ，则 目的：进一步了解单调函数的性质，熟悉有界变差函数的定义，掌握其性质。 重点与难点：单调函数的性质，有界变差函数的定义及其性质。 第25讲 有界变差函数 第25讲 有界变差函数 基本内容： 一．单调函数可导性的推论 问题1：如果 fn 是单调函数序列，且 ，不难看出f也是单调 的，从而也几乎处处有有限导数， fn 的导数与 f 的导数有什么关系？ 等式 是否成立？ 第25讲 有界变差函数 (1) Fubini定理 问题2：跳跃函数的导数是什么？ 推论1(Fubini) 设 是 上的单调增加有限函数序列，且 在 上处处收敛到有限函数 f ，则 。 证明：不妨设 ，否则可令 ，对 讨论就行了。记 ， 则 都是单调增加函数，故去掉一个零测集 E 后， 都存在。 第25讲 有界变差函数 因 及 单调增加，故其导数均非负，从而当 时， 。 由此得，级数 几乎处处收敛。往证