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§ 1.4 平面对偶原则 一、平面对偶原则 重要原理！ 贯穿全书！ 1. 基本概念 (1). 对偶元素 点 直线 (2). 对偶运算 过一点作一直线 在一直线上取一点 (4). 对偶图形 在射影平面上，设已知由点、直线及其关联关系 构成的图形Σ，若对Σ作对偶变换，则得到另一个图形Σ. 称Σ、 Σ为一对对偶图形. 图形Σ 图形Σ 作对偶变换 互为对偶图形 (3). 对偶变换 互换对偶元素地位、作对偶运算 一、平面对偶原则 2. 基本对偶图形举例 (1) 点 (1) 直线 (2) 点列(共线点集) (2) 线束(共点线集) (3) 点场(共面点集) (3) 线场(共面线集) (4) 简单n点形：n个点(其中无三点共线)及其两两顺次连线构成的图形. (4) 简单n线形：n条直线(其中无三线共点)及其两两顺次相交的交点构成的图形. 顶点：n个；边：n条. 边：n条；顶点：n个. 下面分别考察n=3和n=4的情形 § 1.4 平面对偶原则 简单n点(线)形：n=3 简单三点形 简单三线形 简单n点(线)形：n=4 简单四点形 简单四线形 显然，简单n点(线)形与其顶点(边)的顺序有关 § 1.4 平面对偶原则 (5) 完全n点形：n个点(其中无三点共线)及其每两点连线构成的图形. (5) 完全n线形：n条直线(其中无三线共点)及其每两直线交点构成的图形. 顶点：n个； 边：n条； 完全n点(线)形：n=3 完全三点形ABC 完全三线形abc 一对自对偶图形. 将不加区分, 简称三点形或三线形. § 1.4 平面对偶原则 完全n点(线)形：n=4 完全四点形ABCD 完全四线形abcd 射影几何中最重要的一对图形 § 1.4 平面对偶原则 完全四点形ABCD 完全四线形abcd 顶点 4个 边 6条 对边(没有公共顶点的边) 3组 对边点(对边的交点) 3个 对边三点形 XYZ 边 4条 顶点 6个 对顶(不在同一边上的顶点) 3组 对顶线(对顶的连线) 3条 对顶三线形 xyz 请课后画图，熟悉图形及名称. 今后将专门研究其重要性质 思考：试证明任一完全四点形的三个对边点必定不共线. 例 1 作下列图形的对偶图形(P.32，例1.12). 点 2个 直线 5条 关联关系 (1) P,Q在l上； (2) a,b,l共点于P; c,d,l共点于Q 直线 2条 点 5个 关联关系 (1) p,q过点L； (2) A,B,L共线于p; C,D,L共线于q 一、平面对偶原则 2、对偶图形举例 1、基本概念 3、作一图形的对偶图形 教材P.32：4个一般步骤, 请在实践中进一步体会. 翻译 § 1.4 平面对偶原则 一、平面对偶原则 2. 基本对偶图形举例 1. 基本概念 3. 作一图形的对偶图形 4. 平面对偶原则 (1) 射影命题 在射影平面上，若命题A仅与点和直线的关联、顺序关系有关，则称A为一个射影命题. (2) 对偶命题 射影命题A 射影命题PA 作对偶变换 互为对偶命题 (3) 平面对偶原则 定理1.9 (平面对偶原则)在射影平面上， 射影命题A成立 射影命题PA成立 § 1.4 平面对偶原则 一、平面对偶原则 2. 基本对偶图形举例 1. 基本概念 3. 作一图形的对偶图形 4. 平面对偶原则 例 2 对偶命题举例 (1) A 过相异二点有且仅有一条直线. (1) PA 两相异直线有且仅有一个交点. (2) A 如果两个三点形的对应顶点连线共点，则其对应边的交点必定共线. (2) PA 如果两个三点形的对应边交点共线，则其对应顶点的连线必定共点. 注1 只有射影命题才有对偶命题. 注2 对偶原则是一个双射 F： 点几何 线几何 因此, 对偶原则可以使得点几何问题与线几何问题相互转化, 可以起到事半功倍的作用. § 1.4 平面对偶原则 二、代数对偶 考察方程 视 为点的流动坐标，则方程表示直线 视 为直线的流动坐标，则方程表示点 考察方程组 点几何观点：方程组表示两直线交点，解出坐标为 线几何观点：方程组表示两点的连线，解出坐标为 规定 令坐标相同的点与直线为一对相互对偶的代数对偶元素. 得代数对偶原则 注：事实上, 可以有许多种不同的代数对偶映射. 比如将在第四章学习的配极变换. § 1.4 平面对偶原则 二、代数对偶 例 3 代数对偶结论举例. (1) 点 (1) 直线 (2) 原点 (2) 无穷远直线 (3) 无穷远直线上的点 (3) 过原点的直线 (4)－(8) Thm. 1.5－Thm. 1.9 (4)－(8) Thm. 1.5－Thm. 1.9 请在课后尽可能多地练习画出已知图形的对偶图形、写出已知命题的对偶命题，并从对偶原则出发，