第6,7,8讲 矢量分析.ppt

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第6,7,8讲 矢量分析.ppt

本章总述 总结: 总结: 总结: 旋度的物理意义 矢量的旋度仍为矢量,是空间坐标点的函数。 某点旋度的大小是该点环量密度的最大值,其 方向是最大环量密度的方向。 在矢量场中,若 ??A=J? 0 称之为旋度场(或涡旋场),J 称为旋度源(或涡旋源)。 若矢量场处处 ??A= 0 ,称之为无旋场。 应该注意,无论梯度、散度或旋度都是微分运算,它们表示场在某点附近的变化特性,场中各点的梯度、散度或旋度可能不同。因此,梯度、散度及旋度描述的是场的点特性或称为微分特性。函数的连续性是可微的必要条件。因此在场量发生不连续处,也就不存在前面定义的梯度、散度或旋度。 4. 矢量场的环量与旋度 斯托克斯定理 ( Stockes’ Theorem ) 矢量函数的线积分与面积分的相互转化。 图 0.4.3 斯托克斯定理 ——斯托克斯定理 在电磁场理论中,高斯定理 和 斯托克斯定理 是 两个非常重要的公式。 直角坐标系下证明: 直角坐标系下证明: 矢量分析 主讲:张洋 厦门大学 第6,7,8讲 标量场和矢量场 2. 标量场的梯度 3. 矢量场的通量、散度与高斯定理 4. 矢量场的环量、旋度与斯托克斯定理 5. 无散场与无旋场 6. 矢量场的唯一性定理 7. 亥姆霍兹定理 主要内容 1. 标量场和矢量场 标量:只有大小而没有方向的量。如电压U、电荷量Q、电流I、面积S 。 矢量:具有大小和方向特征的量。如电场强度矢量、磁场强度矢量、作用力矢量、速度矢量等。 场是一个标量或一个矢量的位置函数,即场中任一个点都有一个确定的标量或矢量。 1. 标量场和矢量场 标量场:在指定的时刻,空间每一点可以用一个标量唯一地描述,则该标量函数定出标量场。例如物理系统中的温度、压力、密度等可以用标量场来表示。 例如,在直角坐标下: 标量场 如温度场、电位场、高度场等; 1. 标量场和矢量场 矢量场:在指定的时刻,空间每一点可以用一个矢量唯一地描述,则该矢量函数定出矢量场。例如流体空间中的流速分布等可以用矢量场来表示。 矢量场 如流速场、电场、涡流场等。 例如,在直角坐标下: 其方程为: 图1.1 等高线 (1) 标量场--等值线(面) 描绘场分布的工具——场线 对标量场,用等值线(面)图表示。空间内标量值相等的点集合形成的曲线(面)称为等值线(面),例如气象图上的等压线,地图上的等高线等。 图1.2 矢量线 其方程为: (2) 失量场—矢量线 对矢量场,则用一些有向曲线来形象表示矢量在空间的分布,称为力线或流线。力线上任意点的切线方向必定与该点的矢量方向相同。 参见教材:P13 标量场和矢量场 2. 标量场的梯度 3. 矢量场的通量、散度与高斯定理 4. 矢量场的环量、旋度与斯托克斯定理 5. 无散场与无旋场 6. 矢量场的唯一性定理 7. 亥姆霍兹定理 主要内容 1. 标量场的梯度 方向导数:标量场在某点的方向导数表示标量场自该点沿某一方向上的变化率。 例如标量场 ? 在 P 点沿 l 方向上的方向导数 定义为 P l ? 在直角坐标系中,标量场 ? 的梯度可表示为 1. 标量场的梯度 定义:标量场u在某点的梯度是一个矢量,其方向为u增加最快的方向,即等值面法线方向;其大小等于u在该方向上的增加率。 物理意义:标量的梯度表示了标量 u 增加率的最大值及方向。 若引入算符?,它在直角坐标系中可表示为 则梯度可表示为 2. 标量场的梯度 参见教材:P17-18 标量场和矢量场 2. 标量场的梯度 3. 矢量场的通量、散度与高斯定理 4. 矢量场的环量、旋度与斯托克斯定理 5. 无散场与无旋场 6. 矢量场的唯一性定理 7. 亥姆霍兹定理 主要内容 通量: 电场和磁场都是矢量场,通量是研究矢量场性质的一个很重要的概念。 3. 矢量场的通量与散度 电场、磁场不象力学中讨论的对象那样容易看得见,摸得着,为此,我们借助流体的类比来介绍矢量场的通量概念。 通量: 对于流体,通量为单位时间内通过某一截面dS的流体的体积,称为体积流量,简称为流量。 3. 矢量场的通量与散度 一个闭合面上的面元,其方向为该闭合面的外法线方向。 一个闭合面上的面元,其方向为该闭合面的外法线方向。 通量: 对于流体为流量,即单位时间内通过某一截面dS的流体的体积,称为体积流量,简称为流量。 3. 矢量场的通量与散度 3. 矢量场的通量与散度 通量: 把流量的概念推广到一般矢量场,就是所谓的通量。矢量 A 沿某一有向曲面 S 的面积分称为矢量 A 通过该有向曲面 S 的通量,以标量 ? 表示,即 3. 矢量

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