第6,7,8讲 矢量分析.ppt

本章总述 总结： 总结： 总结： 旋度的物理意义 矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。 某点旋度的大小是该点环量密度的最大值，其 方向是最大环量密度的方向。 在矢量场中，若 ??A=J? 0 称之为旋度场（或涡旋场），J 称为旋度源（或涡旋源）。 若矢量场处处 ??A= 0 ，称之为无旋场。 应该注意，无论梯度、散度或旋度都是微分运算，它们表示场在某点附近的变化特性，场中各点的梯度、散度或旋度可能不同。因此，梯度、散度及旋度描述的是场的点特性或称为微分特性。函数的连续性是可微的必要条件。因此在场量发生不连续处，也就不存在前面定义的梯度、散度或旋度。 4. 矢量场的环量与旋度 斯托克斯定理 ( Stockes’ Theorem ) 矢量函数的线积分与面积分的相互转化。 图 0.4.3 斯托克斯定理 ——斯托克斯定理 在电磁场理论中，高斯定理 和 斯托克斯定理 是 两个非常重要的公式。 直角坐标系下证明： 直角坐标系下证明： 矢量分析 主讲：张洋 厦门大学 第6,7,8讲 标量场和矢量场 2. 标量场的梯度 3. 矢量场的通量、散度与高斯定理 4. 矢量场的环量、旋度与斯托克斯定理 5. 无散场与无旋场 6. 矢量场的唯一性定理 7. 亥姆霍兹定理 主要内容 1. 标量场和矢量场 标量：只有大小而没有方向的量。如电压U、电荷量Q、电流I、面积S 。 矢量：具有大小和方向特征的量。如电场强度矢量、磁场强度矢量、作用力矢量、速度矢量等。 场是一个标量或一个矢量的位置函数，即场中任一个点都有一个确定的标量或矢量。 1. 标量场和矢量场 标量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个标量唯一地描述，则该标量函数定出标量场。例如物理系统中的温度、压力、密度等可以用标量场来表示。 例如，在直角坐标下： 标量场 如温度场、电位场、高度场等； 1. 标量场和矢量场 矢量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个矢量唯一地描述，则该矢量函数定出矢量场。例如流体空间中的流速分布等可以用矢量场来表示。 矢量场 如流速场、电场、涡流场等。 例如，在直角坐标下： 其方程为: 图1.1 等高线 (1) 标量场--等值线(面) 描绘场分布的工具——场线 对标量场，用等值线（面）图表示。空间内标量值相等的点集合形成的曲线（面）称为等值线（面），例如气象图上的等压线，地图上的等高线等。 图1.2 矢量线 其方程为： (2) 失量场—矢量线 对矢量场，则用一些有向曲线来形象表示矢量在空间的分布，称为力线或流线。力线上任意点的切线方向必定与该点的矢量方向相同。 参见教材：P13 标量场和矢量场 2. 标量场的梯度 3. 矢量场的通量、散度与高斯定理 4. 矢量场的环量、旋度与斯托克斯定理 5. 无散场与无旋场 6. 矢量场的唯一性定理 7. 亥姆霍兹定理 主要内容 1. 标量场的梯度 方向导数:标量场在某点的方向导数表示标量场自该点沿某一方向上的变化率。 例如标量场 ? 在 P 点沿 l 方向上的方向导数 定义为 P l ? 在直角坐标系中，标量场 ? 的梯度可表示为 1. 标量场的梯度 定义：标量场u在某点的梯度是一个矢量，其方向为u增加最快的方向，即等值面法线方向；其大小等于u在该方向上的增加率。 物理意义：标量的梯度表示了标量 u 增加率的最大值及方向。 若引入算符?，它在直角坐标系中可表示为 则梯度可表示为 2. 标量场的梯度 参见教材：P17-18 标量场和矢量场 2. 标量场的梯度 3. 矢量场的通量、散度与高斯定理 4. 矢量场的环量、旋度与斯托克斯定理 5. 无散场与无旋场 6. 矢量场的唯一性定理 7. 亥姆霍兹定理 主要内容 通量： 电场和磁场都是矢量场，通量是研究矢量场性质的一个很重要的概念。 3. 矢量场的通量与散度 电场、磁场不象力学中讨论的对象那样容易看得见，摸得着，为此，我们借助流体的类比来介绍矢量场的通量概念。 通量： 对于流体，通量为单位时间内通过某一截面dS的流体的体积，称为体积流量，简称为流量。 3. 矢量场的通量与散度 一个闭合面上的面元，其方向为该闭合面的外法线方向。 一个闭合面上的面元，其方向为该闭合面的外法线方向。 通量： 对于流体为流量，即单位时间内通过某一截面dS的流体的体积，称为体积流量，简称为流量。 3. 矢量场的通量与散度 3. 矢量场的通量与散度 通量： 把流量的概念推广到一般矢量场，就是所谓的通量。矢量 A 沿某一有向曲面 S 的面积分称为矢量 A 通过该有向曲面 S 的通量，以标量 ? 表示，即 3. 矢量