高等数学方明亮版课件18函数的连续性与间断点.pptVIP

第八节 函数的连续性与间断点 一、问题的提出（Introduction） 二、函数的连续性（Continuity of Function） 三、函数的间断点（Discontinuity of Function） 内容小结 间断点的类型. 返回 上页 下页 目录 第一章 （Continuity and Discontinuity of Function） 三、函数的间断点 二、函数的连续性 一、问题的提出 四、小结与思考题 0 T (时间) 温度C 4 14 24 一天的气温是连续地变化着，体现函数的连续性 1.函数的增量 2. 连续的定义（Definition of Continuity ） 在 的某邻域内有定义 , 则称函数 设函数 且 定义2 3. 单侧连续(One-sided Continuity) 左连续 (Left Continuity) : 当 时, 有 右连续(Right Continuity) : 当 时, 有 定理 与单侧极限相类似！ 4. 连续函数(Continuous Function) 若 在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上 连续 , 或称它为该区间上的连续函数 . 如果此区间包含端点， 那么 （1）函数在左端点连续是指 在左端点右连续， （2）函数在右端点连续是指 在右端点左连续. 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线． 在闭区间 上的连续函数的集合记作 在 上连续 . ( 有理整函数 ) 又如, 有理分式函数 在其定义域内连续. 只要 都有 例如, 在 内连续 . 证: 即 这说明 在 内连续 . 同样可证: 函数 在 内连续 . 例1 证明函数 例2 讨论函数 在 处的连续性． 解　由于 即左右极限不相等，所以该函数在 但是，因为 点不连续． ，所以函数 在 处 右连续． 定义3 在 在 (1) 函数 (2) 函数 不存在; (3) 函数 存在 , 但 不连续 : 设 在点 的某去心邻域内有定义 , 则 这样的点 下列情形之一函数 f (x) 在点 虽有定义 , 但 虽有定义 , 且 称为间断点 . 在 无定义 ; 第一类间断点: 及 均存在 , 若 称 若 称 第二类间断点: 及 中至少一个不存在 , 称 若其中有一个为振荡 , 称 若其中有一个为 为可去间断点 . 为跳跃间断点 . 为无穷间断点 . 为振荡间断点 . 间断点分类: 为其无穷间断点 . 为其振荡间断点 . 为可去间断点 . 例如: 显然 为其可去间断点 . (4) (5) 为其跳跃间断点 . 例3 当 取何值时，函数 解 因为 要使 ，则需要 ．故当且仅当 时，函数 在 点连续． 在 处连续． 左连续 右连续 第一类间断点 可去间断点 跳跃间断点 左右极限都存在 第二类间断点 无穷间断点 振荡间断点 左右极限至少有一个不存在 在点 间断的类型 在点 连续的等价形式 课后练习 习 题 1-8 2（偶数题） 5 6 思考与练习 1. 讨论函数 x = 2 是第二类无穷间断点 . 间断点的类型. 答案: x = 1 是第一类可去间断点 , 2. 讨论函数 在 处的连续性。 解： 右连续但不左连续, 故函数 在点 不连续。 3. 讨论下列函数的连续性，若有间断点，判断其类别． 习题1－9 3（2） 为跳跃间断点. 解： 解: 间断点 为无穷间断点; 故 为跳跃间断点. 4. 确定函数 * * * *