§1.9 连续函数的运算与初等函数的连续性.pptVIP

§1.9 连续函数的运算与初等函数的连续性 一、连续函数的和、积及商的连续性 二、反函数与复合函数的连续性 三、初等函数的连续性 思考: 求 小结 上页 下页 结束 返回 首页 常用等价无穷小: 设x=x0+Dx? 则当Dx?0时? x?x0? 因此 Dy=f(x0+Dx)-f(x0)? 函数的连续性定义 间断点 复习 可去型 第一类间断点 跳跃型 无穷型 第二类间断点 o y x o y x o y x 下页 o y x 振荡型 一、连续函数的和、积及商的连续性 二、反函数与复合函数的连续性 三、初等函数的连续性 上页 下页 铃 结束 返回 首页 定理1 设函数f(x)和g(x)在点x0连续? 则函数 在点x0也连续? 例1 因为sin x和cos x都在区间(-?? +?)内连续? 所以tan x和cot x在它们的定义域内是连续的? 三角函数 sin x、cos x、sec x、csc x、tan x、cot x 在其有定义的区间内都是连续的? 首页 定理2 如果函数f(x)在区间Ix上单调增加(或减少)且连续? 那么它的反函数x?f ?1(y)在区间Iy?{y|y?f(x)? x?Ix}上也是单调增加(或减少)且连续的? 所以它的反函数y=arcsin x 在区间[-1? 1]上也是连续的? 下页 例2 同样? y=arccos x 在区间[-1? 1]上是连续的? y=arctan x 在区间(-?? +?)内是连续的? y=arccot x 在区间(-?? +?)内是连续的? 反三角函数arcsin x、arccos x、arctan x、arccot x在它们的定义域内都是连续的? 下页 二、反函数与复合函数的连续性 定理2 如果函数f(x)在区间Ix上单调增加(或减少)且连续? 那么它的反函数x?f ?1(y)在区间Iy?{y|y?f(x)? x?Ix}上也是单调增加(或减少)且连续的? 所以它的反函数y=arcsin x 在区间[-1? 1]上也是连续的? 例2 即： 单调连续的函数有单调连续的反函数. 定理3 下页 设函数y?f[g(x)]由函数y?f(u)与函数u?g(x)复合而成? 意义 1.极限符号可以与函数符号互换; 例如, 注: (1)把定理中的x?x0换成x??? 可得类似的定理? 提示: 例3 解 下页 定理3 设函数y?f[g(x)]由函数y?f(u)与函数u?g(x)复合而成? 设函数y?f[g(x)]由函数y?f(u)与函数u?g(x)复合而成? U(x0)?Df o g? 若函数 u?g(x) 在点 x0 连续? 函数 y?f(u)在点u0?g(x0)连续? 则复合函数y?f[g(x)]在点x0也连续? 下页 定理4 注意　定理4是定理3的特殊情况. 定理3 设函数y?f[g(x)]由函数y?f(u)与函数u?g(x)复合而成? 设函数y?f[g(x)]由函数y?f(u)与函数u?g(x)复合而成? U(x0)?Df o g? 若函数 u?g(x) 在点 x0 连续? 函数 y?f(u)在点u0?g(x0)连续? 则复合函数y?f[g(x)]在点x0也连续? 下页 定理4 例如, sin u 当-?u+?时是连续的? 例4 解 内是连续的? 结论 基本初等函数在它们的定义域内都是连续的? 一切初等函数在其定义区间内都是连续的? 下页 1. 三角函数 2. 反三角函数 在其定义域内是连续的. (均在其定义域内连续 ) 定义区间是指包含在定义域内的区间. 例6 例5 解 解 下页 利用连续性求极限举例 特别地 ?例 证明 证 特别地 例7 求 令a x-1=t? 解 则x=log a(1+t)? x?0时t?0? 于是 利用连续性求极限举例 另解: 特别地 =ln a 解: 原式 说明: 若 则有 ?练习 ?练习 连续函数的和差积商的连续性. 复合函数的连续性. 初等函数的连续性. 定义区间与定义域的区别; 求极限的又一种方法. 两个定理;