1.3 条件概率、全概率公式和贝叶斯公式.ppt

山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂 山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂 §3 条件概率、全概率公式 将一枚硬币抛掷两次 ,观察其出现正反两面的情况,设事件 A为 “至少有一次为正面”,事件B为“两次掷出同一面”. 现在来求已知事件A 已经发生的条件下事件 B 发生的概率. 分析 事件A 已经发生的条件下事件B 发生的概率,记为 1. 引例 §3.1 条件概率 实际中，会遇到在某一事件A已经发生的条件下，求另一事件B发生的概率，称这种概率为A发生的条件下B发生的条件概率。 例1 一个家庭中有两个小孩，已知其中一个是女孩，问另一是男孩的概率是多大（假定一个小孩是男还是女是等可能的） ？ 解 观察两个小孩性别的随机试验所构成的样本空间? ={(男,男)、(男, 女)、(女, 男)、(女, 女)}． 则 A={(男,男), (男,女), (女,男)} 表示“两个小孩中至少有一个男孩”， B={(女,女), (男,女), (女,男)} 表示“两个小孩中至少有一个女孩}”. 显然，P(A)=P(B)=3/4．现在B已经发生，排除了有两个男孩的可能性，相当于样本空间由原来的?缩小到现在的? B=B，而事件相应地缩小到={(男, 女)，(女, 男)}，因此 例2 一批产品100件 70件正品 30件次品 甲厂生产40件 乙厂生产30件 甲厂生产20件 乙厂生产10件 从中任取1件,记A=“取到正品”,B=“取到甲厂产品”, 试计算P(A),P(B),P(AB),P(B|A),P(A|B). 解 * 例4 全年级100名学生中, 有男生(以事件A表示)80人, 女生20人, 来自北京的(以事件B表示)有20人, 其中男生12人,女生8人,免修英语的(用事件C表示)40人中有32名男生,8名女生,试写出有关事件的概率和条件概率 解: P(A)=80/100=0.8 P(B)=20/100=0.2 P(B|A)=12/80=0.15 P(A|B)=12/20=0.6 P(AB)=12/100=0.12 P(C)=40/100=0.4 定义1 设A，B为随机试验E 的两个事件，且P(B)＞0，则称 一、条件概率 为在事件B已发生的条件下，事件A发生的条件概率. 关于条件概率的计算， 往往采用如下两种方法： (1) 在缩减的样本空间上直接计算。 (2) 利用公式计算。 * 例3 市场上供应的灯泡中, 甲厂的产品占70%, 乙厂占30%, 甲厂产品的合格率是95%, 乙厂的合格率是80%, 若用事件A,A分别表示甲乙两厂的产品, B表示产品为合格品, 试写出有关事件的概率和条件概率 解 依题意 注: 在解题过程中常见的错误是将条件概率写成无条件概率! 例5 设某种动物由出生而活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，求现龄为20岁的这种动物活到25岁的概率？ 解 设A={活到20岁}，B={活到25岁}， 则 P(A)=0.8, P(B)=0.4. 于是所求概率为 由于A?B，有AB=B，因此P(AB)= P(B)=0.4， 例6 甲、乙两城市都位于长江下游，根据一百余年气象记录，知道甲、乙两市一年中雨天占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，求： （1）乙市为雨天时，甲市也为雨天的概率； （2）甲市为雨天时，乙市也为雨天的概率. 解 设A={甲市是雨天}，B={乙市是雨天}， P(A)=0.2， P(B)=0.18， P(AB)=0.12， 则 二、乘法公式 若Ｐ(B)0, 则 P(AB) = P(B)·P(A |B) 定理1 若P(A1 A2… An-1)0，则 P(A1 A2… An)＝ P(A1 ) P(A2| A1) P(A3| A1 A2) … P(An ｜A1 A2… An-1). 例7 一袋中装有a只白球，b只黑球，每次任取一球，取后放回，并且再往袋中加进c只与取到的球同色的球，如此连续取三次，试求三次均为黑球的概率． 解 设A={三次取出的均为黑球}，Ai={第i次取出的是黑球}，i=1,2,3，则有 A=A1A2A3．由题意得 故 该摸球模型称为