第3节任意项级数敛散性的判别38615.pptVIP

* * —— 一元微积分学 大 学 数 学（一） 第3节 任意项级数敛散性的判别 第七章 无穷级数 第3节 任意项级数敛散性的判别 常数项级数 正项级数 交错级数 任意项级数 一般项级数 1 级数的绝对收敛和条件收敛 定义 定理7.6 ( 即绝对收敛的级数必定收敛 ) 证 ? un ? | un | ? 从而 2.交错级数及其敛散性 交错级数是各项正负相间的一种级数, 或 其中, un ? 0 ( n = 1 , 2 , … ). 它的一般形式为 定义 (莱布尼兹判别法) 满足条件: (1) (2) un ? un+1 ( n =1, 2, … ) 则交错级数收敛, 且其和 S 的值小于 u1 . (级数收敛的必要条件) 定理7.7 若交错级数 (单调减少) 0 (由已知条件) 只需证级数部分和 Sn 当 n ? ? 时极限存在. 证 1) 取交错级前 2m 项之和 由条件 (2) ： 得 S2m? 及 由极限存在准则： un ? un+1, un ? 0, 2) 取交错级数的前 2m +1 项之和 由条件1) : 综上所述, 有 讨论级数 的敛散性. 这是一个交错级数： 又 由莱布尼兹判别法, 该级数是收敛. 解 例1 解 由莱布尼茨判别法, 原级数收敛. 例2