Chapter 1-4 行列式的性质.pptVIP

* 第四节 行列式的性质 主要内容 性质 1 性质 2 性质 3 性质 4 性质 5 性质 6 举例 设 n 阶行列式 把 D 中的行与列互换,所得的 n 阶行列式记为 称 DT 为 D 的转置行列式． DT ： 性质１ 行列式与它的转置行列式相等． 由此性质可知, 行列式中的行与列具有同等的地 位, 对于行成立的性质对于列也同样成立, 反之亦然. 性质 2 互换行列式的两行(列)，行列式变号. 交换 i , j 两行 记为 交换 i , j 两列 记为 推论 1 如果行列式有两行(列)完全相同，则 此行列式等于零. 两行(列)同是值 为零的充分不必 必要条件. 用 k 去乘第 i 行每一个元素 性质 3 行列式的某一行(列)中所有元素都乘 以同一个数 k, 等于用数 k 乘以此行列式. 第 i 行(或列)乘以 k , 记作 ri ? k (或 ci ? k) 公因子可以提到行列式符号的外面. 推论 2 行列式中某一行(列)的所有元素的 第 i 行(或列)提出公因子 k , 记作 ri k (或 ci k) 性质 4 行列式中如果有两行(列)元素成比 例,则此行列式等于零. 两行(列)成比例 是值为零的充分 不必要条件. 两数之和,例如第 i 行的元素都是两数之和： 性质 5 若行列式的某一行(列)的元素都是 则这个行列式等于两个行列式之和,即 第 i 行 性质 6 把行列式的某一列(行)的各元素乘 以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去,行 列式不变. 第 i 行 第 i 行 例如，以数 k 乘第 j 列加到第 i 列上(记作ci+kcj),有 ( i≠j ) 性质 2，3，6介绍了行列式关于行和列的三 交换运算： 行交换 列交换 它们分别记为 种运算，分别称为交换运算、数乘运算、线性运算, 数乘运算： 行运算 列运算 线性运算： 行运算 列运算 利用上述三种运算可简化行列式的计算，特 从而得到行列式的值. 就是利用运算 ri+krj 把行列式化为上三角形行列式, 式中许多元素化为0. 别是利用运算 ri + krj (或 ci + kcj ) 可以把行列 计算行列式常用的一种方法 举例 例 6 计算 n 阶行列式 (1) (2) 例 7 计算 例 8 计算 例 9 计算 上述诸例都是利用运算 ri+krj 把行列式化为上 能利用运算 ri+krj 把行列式化为上三角形行列式, 用归纳法易证任何 n 阶行列式总 或下三角形行列式. 三角形行列式， 用列变换也可以达到此目标. 例 10 设 证明 D = D1D2 . 例 11 计算 2n 阶行列式 其中未写出的元素为 0 . *