61最小二乘法的基本原理和多项式拟合.pptVIP

第一节 最小二乘法的基本原理和多项式拟合 一、最小二乘法的基本原理 二、多项式拟合 三 最小二乘拟合多项式的存在唯一性 四 多项式拟合中克服正规方程组的 病态 * 上页 下页 第六章 第一节 具体的做法是求 p(x) 使 几何意义: 求在给定点 x0, x1,…, xm 处与点(x0,y0), (x1,y1), … ,(xm, ym) 的距离平方和最小的曲线 y =p(x),这就是最小二乘曲线拟合问题. 定义 对给定的一组数据(xi,yi)(i=0,1,…,m),求次数不超过n的多项式 使其满足 这样的曲线拟合叫多项式拟合. 满足上式的Pn(x) 叫最小二乘拟合多项式. 特别地, 当n=1时,一次多项式拟合又叫直线拟合. 由多元极值的必要条件知, aj 满足 即 2. 最小二乘拟合多项式的求法 矩阵形式为 称之为法方程组或正规方程组. 例1 测得铜导线在温度 时的电阻 如表6—1，求电阻R与温度T的近似函数关系。 表6—1 85.10 83.90 82.35 80.80 79.25 77.80 76.30 50.0 45.1 40.0 36.0 30.1 25.0 19.1 6 5 4 3 2 1 0 i 列表如下 20029.445 9325.83 565.5 245.3 4255.000 2500.00 85.10 50.0 6 3783.890 2034.01 83.90 45.1 5 3294.000 1600.00 82.35 40.0 4 2908.800 1296.00 80.80 36.0 3 2385.425 906.01 79.25 30.1 2 1945.000 625.00 77.80 25.0 1 1457.330 364.81 76.30 19.1 0 故得R与T的拟合直线为 R=70.572+0.921T 正规方程组为 解方程组得 利用上述关系式，可以预测不同温度时铜导线 的电阻值。例如由R=0 得T= ，即预测温度 时，铜导线无电租。 R=70.572+0.921T 例2 已知实验数据如下表 试用最小二乘法求它的二次拟合多项式 4 3 2 1 1 2 4 5 10 10 9 8 7 6 5 4 3 1 8 7 6 5 4 3 2 1 0 列表如下 解 设拟合曲线方程为 1025 147 25317 3017 381 32 53 400 40 10000 1000 100 4 10 8 243 27 6561 729 81 3 9 7 128 16 4096 512 64 2 8 6 49 7 2401 343 49 1 7 5 36 6 1296 216 36 1 6 4 50 10 625 125 25 2 5 3 64 16 256 64 16 4 4 2 45 15 81 27 9 5 3 1 10 10 1 1 1 10 1 0 得正规方程组 解得 故拟合多项式为 定理1 设点xi 互异,则法方程组存在且唯一 证明用克莱姆法则, 然后反证法. 定理2 设ak 是法方程组的解,则 Pn(x)为所求的最小拟合多项式.（按定义证明） 在多项式拟合中，当拟合多项式的次数较高时，其正规方程组往往是病态的。而且 1，正规方程组系数矩阵的阶数越高，病态越 严重； 3， 的数量级相差越大，病态越严重。 2，拟合节点分布的区间 偏离原点越远，病态越严重。 为了克服以上缺点，一般采用以下措施： 1，尽量少做高次拟合多项式，而作不同的分段低次拟合； 2，不使用原始节点作拟合，将节点分布区间做平移， 使新的节点 关于原点对称，可大大降低正规方程组的条件数，从而减低病态程度。 平移公式为： 3，对平移后的节点 ,再做压缩或扩张 处理： 其中 （r是拟合次数） 4, 在实际应用中还可以利用正交多项式求拟合多项式。一种方法是构造离散正交多项式；另一种方法 * * * * * 上页 下页 第六章 第一节