3D图形中的矩阵运算［PPT课件］.ppt

3D图形技术与算法基础 南华大学计算机学院 软件工程教研室 刘征海 eliuzhenghai@126.com 矩　阵 数学定义 在线性代数中，矩阵就是以行和列形式组织的矩形数字块。 向量是标量的数组，矩阵则是向量的数组 矩　阵 矩阵的维度和记法 矩阵的维度被定义为它包含了多少行和多少列，一个　　　的矩阵有r　行和c　列 下面是的个　　　矩阵的例子 矩　阵 方阵 行数和列数相同的矩阵为方阵 方阵的对角线元素就是行号和列号相同的元素 如果非对角线元素全为0，则称为对角矩阵 单位阵I，是对角线元素都为1的对角矩阵 矩　阵 矩阵的转置 一个　　　的矩阵M的转置记做　　　。其中 　 下面是的个　　　矩阵的转置的例子 矩　阵 矩阵乘法 一个　　矩阵A能够乘以一个　　矩阵B，结果是一个　　矩阵，记做AB 矩　阵 矩阵乘法 矩阵乘法计算如下：记　　矩阵A与　　矩阵B的积　　矩阵AB为C。C的任意元素Cij等于A的第i行向量与B的第j列向量的点乘结果 矩　阵 向量与矩阵的乘法 行向量左乘矩阵时得到一行向量 列向量右乘矩阵时得到一列向量 矩　阵 向量与矩阵的乘法 结果向量中的每个元素都是原向量与矩阵中单独行或列的点积 矩阵中的各元素决定了输入向量中特定元素在输出向量中占的比重 矩阵向量乘法满足对向量加法的分配律 矩　阵 行向量与列向量 在文字中使用行向量的形式更好一些 讨论怎样用矩阵乘法实现坐标系转换时，向量左乘矩阵的形式更加方便。例如用矩阵A、B和C转换向量v，用行向量记法为vABC DirectX使用的是行向量 矩　阵 行向量与列向量 等式中使用列向量形式更好 线性代数书中多使用列向量 多本计算机图形学“圣经”使用列向量 OpenGL使用列向量 矩　阵 矩阵的性质 定理2.1　任意给出两个标量系数a、b以及三个　　　的矩阵F、G、H，则以下等式成立　　 　 　 　　 　 　 矩　阵 矩阵的性质 定理2.2　对任意的标量系数a，　　矩阵F，　矩阵G，　　矩阵H，有以下性质：　　 　 　 　　 线性方程组 矩阵提供了一种并且简便的线性方程组的表示方法： 矩　阵 算法2.6　把　　　　增广矩阵M变换为最简形式 1、令行下标i=1； 2、令列下标j=1，从第一列到第n列进行循环； 3、找到第一个满足行号　　　，并且　　　的行，如果不存在，则跳到步骤8； 4、如果　　　，那么就交换k行和i行； 5、将i行乘以　　，使矩阵M的元素(i,j)变为1； 6、对于每一行r，　　　且　　，将第i行乘　　 加到r行上。这一步将把第j列中除第i行外的元素变为0； 7、i加1； 8、如果　　，j加1，跳到步骤3。 矩　阵 逆矩阵 对一个　　矩阵M而言，如果存在一个矩阵　 ，使 　　　　　　，则称矩阵M可逆。 定理2.9　有一行或一列全为0的矩阵是不可逆的。 定理2.10　一个矩阵M是可逆的当且仅当其转置是可逆的。 定理2.11　如果F和G是　　　的可逆矩阵，那么FG也是可逆的且　　　　　　　。 定理2.14　假设　　　矩阵M’是　　　矩阵M进行基本行变换后得到的矩阵，则有M’=EM，其中E是对单位矩阵进行相同的基本行变换的最终矩阵。 定理2.15　当且仅当矩阵M的行是一个线性无关的向量集时，　　矩阵M是可逆的。 矩　阵 逆矩阵 算法2.12　计算　　　矩阵M的逆矩阵。 1、构造由M和I组成的增广矩阵　　； 2、令下标j=1，从第一列到第n列进行循环； 3、找到一个满足行号　　，并且　　　的行，如果不存在，则M不可逆； 4、如果　　，那么就交换第i行和第j行； 5、将j行乘以　　，使矩阵　　的(i,j)元素变为1； 6、对于每一行r，　　　　且　　，将第j行乘以　　　，加到r行上，使第j列中除第j行元素外变为0； 7、如果　　　，j加1，跳到步骤3。 矩　阵 逆矩阵的几何解释 矩阵的逆在几何上非常有用，因为它使得我们可以计算变换的“反向”或“相反”变换，即能“撤消”原变换。 如果向量v用矩阵M进行变换，接着用M的逆进行变换，将会得到原向量。 矩　阵 行列式 方阵的行列式是从方阵的元素得到的一个标量，矩阵M的行列式记作detM。 矩　阵 行列式的计算 首先，定义　　矩阵的行列式就是矩阵的元素自己； 然后，　　矩阵的行列式可由以下公式给出。 矩　阵 行列式 定理2.16　执行基本行变换对一个矩阵的行列式有以下性质： 1、两行相互交换，则行列式取反； 2、矩阵中的一行乘以比例系数a则行列式也变为原来的a倍； 3、把一行的若干倍加到另一行对行列式没有影响。 矩　阵 行列式 定理2.17　如果矩阵有相同的两行，则其行列式为0。 定理2.18　　　矩阵M当且仅当　　　　时是可