第2.1节条件概率全概率公式与贝叶斯公式.pdf

第二章 条件概率与统计独立性 • 条件概率，全概率，贝叶斯公式 • 事件独立性 • 贝努利试验与直线上的随机游动 • 二项分布与泊松分布 2.1 条件概率 全概率公式 与贝叶斯公式 一、条件概率 二、全概率公式 三、贝叶斯公式 一、条件概率  问题1 一个家庭有两个孩子，问两个都是女孩 的概率是多少？(假定生男生女是等可能的)  问题2 一个家庭有两个孩子，已知其中一个是 女孩，问另一个也是女孩的概率是多少？(假定 生男生女是等可能的)  问题3 一个家庭有两个孩子，已知老大是女 孩，问另一个也是女孩的概率是多少？(假定生 男生女是等可能的) 定 2.1.1 ( , , ) ,  , 2 义 设  P 是一个概率空间 B  P (B ) 0, A  , 且  则对任意的  记 P (AB ) P (A | B ) ( ) P B ( | ) 称P A B 为在事件 B 发生的条件下事件 A 发生的 条件概率. 说明 若事件B 已发生,则为 使A 也发生,试验结果必须是 既在B 中又在A 中的样本点,即 A AB B 此点必属于AB . 由于我们已经  知道B发生,故B变成了新的样 本空间.  从概率的直观意义出发： 若B已经发生,则要使A发生 试验的结果既属于A又属于B,即属于AB。 因此，条件概率应理解为P(AB)在P(B) 中的“比重”。  从几何概型的角度出发：如果在单位正方形内等 可能的投点，若已知B发生，这时A发生的概率为: A AB B  SAB SAB / S P (AB ) P SB SB / S P (B ) “条件概率”是“概率”吗？ 容易验证，条件概率具有概率的公理化定义 中的三个条件 3. 性质 (1) 非负性 : P (A B ) 0; (2)规 范性 P (| B ) 1,同时P (| B ) 0； (3) P(A A B) P(A B) P(A B) P(A A B); 1 2 1 2 1 2 (4) P (A B ) 1 P (A B ). (5) 可加可列性 : 设 B1 , B2 , , 是两两不相容的事 件,则有    