[工学]讲稿0802ch4-8.doc

CH4 小波算法 本章开始，我们在实数范围内讨论问题 §1. Mallat 算法 设有数据列，在计算机上或实际问题中，分辨率总有限，利用给定的MRA，我们可以构造一个函数：（我们把当作系数） 或者 不妨设 我们记为到的投影算子，而为到的投影算子。 设 本章中的已单位化 即： 其中 而 由此可得， 与(☆)中的相比，实际上 * h-5 h-4 h-3 h-2 h--1 h0* h1 h2 h3 h4 h5 h-5 h-4 h-3 h-2 h--1 h0* h1 h2 h3 h-3 h-2 h--1 h0* h1 h2 h3 h4 h5 同样 是(*)式中 为简化符号，引入： 其中H,G为到自身的线性有界算子，由下式定义： 上述过程可递归进行，由于 我们有： 仿上可得： 递推：对于j=-1, -2, … 其中, 我们可以把H,G想象成一个四边无界的“矩阵” 其中， 下面我们再讨论重构的问题 设我们已知和，则 从而有： 或 分别是H，G的共轭算子 若取矩阵形式，则 上述算法可图示如下： 分解： …… …… 重构： …… …… CH5 紧支集正交小波基 §1紧支集正交小波基 在双尺度方程(☆)中，如果只有有限个，此时作适当的平移，(☆)总可写成 (☆′) 可以证明 supp 说明： 例如 则 supp 矛盾。 现在我们考虑(☆′)式，暂不考虑作为尺度函数的种种要求，只考虑对于给定的如何解函数方程(☆′) ① 迭代解法 定义算子： 初值： 取紧支集函数 ， 若当时， 则 是(☆′)的解 这样的迭代过程是否收敛？ ② 递归法 当①中的迭代过程收敛，函数方程有解时，可先求出，，…， 之值。因 supp{} ， … 均为0，据(☆′) 写出矩阵形式，令： 则方程可写为： 此方程在标准化条件下，解是唯一的。已知，。 利用(☆′) 可求得之值，重复上述过程可求得在上的值， 就数值计算而言，这已经足够了。 现在研究(☆′)中的系数满足什么条件时方程有解，且解函数成为MRA中的尺度函数。 据定理3.2 若存在，且为MRA的尺度函数 (必要条件) 同理可得 由此得 （1） 再由 令 因此 即： 再由 即 （2） （1），（2）是应有的必要条件 当紧支集的情况（1）（2）是有限形式，我们引入记号 由（2） 定理5.1 设有有限双尺度方程 （☆′） 记， 记 （S=N – L） 且 1° 2° 3° 则（☆′）迭代可解，其连续解在标准化下，生成一个正交MRA。 证略。 一般来说，若N 固定，当L不同时可以有不同的解。 §2. 小波-滤波器系数计算的一种方法 有限双尺度方程： ☆ 满足什么条件时有解，并且成为尺度函数（小波母函数） 我们已经得到： 以上是必要条件。 Daubechies得到了充要条件，较难理解和验证。 下面我们从必要条件出发推出满足的非线性方程组，若解唯一，则可推出（已知解存在的情况下） 令 （有限和） 则H(0)=1 ---必要条件（ch.3） (1) 令k=i-