[工学]重积分.ppt

1 二重积分的定义 3 二重积分的性质 2 二重积分的几何意义 （曲顶柱体的体积） （和式的极限） 小 结 hw：p149 1(2),2(2),3(1,3),5. 思考题 将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处. 定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关．不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数． 思考题解答 练 习 题 练习题答案 Apr. 6 Fri. Chapter 10 重积分 重积分的概念与性质 二重积分的计算 三重积分的概念与计算 重积分应用举例 本章及下章将一元函数的定积分推广多元函数的重积分，曲线积分与曲面积分。 多重积分，曲线积分，曲面积分：讨论分布在平面 区域，平面曲线或空间区域，空间曲线或空间曲面 上的整体量。 定积分：讨论分布在某区间上的几何量或物理量的 积累问题； §1 重积分的概念与性质 问题的提出 二重积分的概念 二重积分的性质 柱体体积=底面积× 高 特点：平顶. 柱体体积=？ 特点：曲顶. １．曲顶柱体的体积 一. 问题的提出 曲顶柱体 x 0 z y D S S : z = f (x,y) 元素法 1 任意分割区域 D,化整为零 2 以平代曲 曲顶柱体的体积 ??i x 0 z y D S : z = f (x,y) 3 积零为整 2 以平代曲 元素法 1 任意分割区域 D,化整为零 曲顶柱体的体积 . ??i x 0 z y D S : z = f (x,y) 3 积零为整 4 取极限 令分法无限变细 ??i 2 以平代曲 元素法 1 任意分割区域 D,化整为零 曲顶柱体的体积 . V = x 0 z y D S : z = f (x,y) 3 积零为整 4 取极限 令分法无限变细 2 以平代曲 元素法 1 任意分割区域 D,化整为零 曲顶柱体的体积 . V = x 0 z y S : z = f (x,y) 3 积零为整 4 取极限 令分法无限变细 V 2 以平代曲 元素法 1 任意分割区域 D,化整为零 . 曲顶柱体的体积 . V = 步骤如下： 用若干个小平 顶柱体体积之 和近似表示曲 顶柱体的体积， 分割曲顶柱体的底，并取典型小区域， 曲顶柱体的体积 ２．求平面薄片的质量 将薄片分割成若干小块， 取典型小块，将其近似 看作均匀薄片， 所有小块质量之和 近似等于薄片总质量 二. 二重积分的概念 定义： 积分区域 积分和 被积函数 积分变量 被积表达式 面积元素 说明： 几何意义： 当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积． 当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值． 二重积分的可积函数类 在D上的连续函数； D上的分片连续的函数类。 在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D， 故二重积分可写为 D 则面积元素为 性质１ 性质２ （二重积分与定积分有类似的性质） 三. 二重积分的性质 性质３ 对区域具有可加性 性质４ 性质５ 若在D上 特殊地 则有 注意到 性质６ 性质７ （二重积分中值定理） （二重积分估值不等式） 解： 可知二重积分表示球体体积的1/8，故： 解: 解： 在边界上 解： 证明： 从而有： 解: 解： 解: 解： 不妨设