[工学]随机过程第二章课件.ppt

计算机科学与工程学院　顾小丰 随机过程与排队论 数学科学与计算技术学院 胡朝明 Email：math_hu2000@csu.edu.cn * 上一讲内容回顾 概率空间 条件概率、乘法公式、事件的独立性、全概率公式与贝叶斯公式 随机变量及其分布程 随机变量、分布函数 离散型随机变量及其分布律 连续型随机变量及其概率密度 常见的随机变量及其分布 n维随机变量 随机变量函数的分布 本讲主要内容 随机变量的数字特征 数学期望 方差 k阶矩 协方差 条件数学期望 随机变量的特征函数 §1.3 随机变量的数字特征 一、数学期望 定理 设Y＝g(X)，g(x)是连续函数 定理 设Z＝g(X,Y)，g(x,y)是连续函数 二、方差 设X是随机变量，若E[X-E(X)]2存在，称 D(X)＝E[X-E(X)]2 为R.V.X的方差(或记为Var(X))，称 为R.V.X的均方差或标准差。 常见随机变量的数学期望和方差 0-1分布：E(X)＝p，D(X)＝pq； 二项分布X～B(n,p)：E(X)＝np，D(X)＝npq； 泊松分布X～?(?)：E(X)＝D(X)＝?； 均匀分布X～U(a,b)： E(X)＝(a+b)/2，D(X)＝(b-a)2/12； (负)指数分布：E(X)＝1/?，D(X)＝1/?2； 正态分布X～N(?,?2)：E(X)＝?，D(X)＝?2； ?-分布X～?(?,?)： E(X)＝?/?，D(X)＝?/?2； ?2-分布X～?2(n)：E(X)＝n，D(X)＝2n； 爱尔朗分布X～Ek：E(X)＝k/?，D(X)＝k/?2。 例 泊松分布X～?(?)： 例 (负)指数分布：E(X)＝1/?，D(X)＝1/?2； 三、k阶矩 设R.V.X有E(|X|k)+?，E[|X-E(X)|k] +?，则 称?k＝E(Xk)为X的k阶原点矩； 称?k＝E(|X|k)为X的k阶绝对矩； 称?k＝E[X-E(X)]k为X的k阶中心矩； 称?k＝E[|X-E(X)|k]为X的k阶绝对中心矩。 四、协方差 若E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}，称 cov(X,Y)＝E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} ＝E(XY)-E(X)E(Y) 为随机变量X和Y的协方差，称 协方差矩阵 设n维R.V.(X1,X2,…Xn)，若 cij＝cov(Xi,Xj)＝E{[Xi-E(Xi)][Xj-E(Xj)]} i,j＝1,2,…,n存在，则称 协方差矩阵 协方差矩阵中元素满足： 五、随机变量数字特征的性质 E(aX+b)＝aE(X)+b，D(aX+b)＝a2D(X)，a,b为任意常数； 随机变量数字特征的性质 方差的计算公式 D(X)＝E(X2)-E2(X) ≥0 特别地，当D(X)＝0的充分必要条件是P{X=E(X)}＝1。 例 设二维R.V.(X,Y)的联合概率密度为 例（续） 例（续） 由于f(x,y) ≠fX(x)fY(y)，故X与Y不独立。 §1.4 条件数学期望 设(X,Y)为离散型二维随机变量，其联合分布律为pij，i,j=1,2,…，若 条件数学期望 设(X,Y)为连续型二维随机变量，其联合概率密度为f(x,y)，若 定理 设g(x)为连续函数， (1)若 条件方差 称D(X|Y=y)＝E[X-E(X|Y=y)]2为Y=y条件下，随机变量X的条件方差。 条件数学期望的性质 E(C|Y)＝C，C为常数； E(aX+bY|Z)＝aE(X|Z)+bE(Y|Z)，a,b为常数； 如果X与Y独立，则E(X|Y)＝E(X)； E(X)＝E[E(X|Y)]； E[g(X)]＝E{E[g(X)|Y]}； E[g(X)h(Y)|X]＝g(X)E[h(Y)|X]； E[g(X)h(Y)|Y]＝h(Y)E[g(X)|Y]； E[g(X,Y)]＝E{E[g(X,Y)|Y]}； E[X-E(X|Y)]2≤E[X-E(Y)]2。 例 设在某一天内进入某商店的顾客数是数学期望为100的随机变量。又设这些顾客所花的钱为数学期望是50元的相互独立的随机变量。再设一个顾客花钱数和进入商店的总人数相互独立。试问在给定一天内，顾客在该店所花的钱的期望值是多少？ 例(续) 由全期望公式： E(Y)＝E[E(Y|N)] 而 §1.4 特征函数 随机变量X的特征函数定义为 ?X(u)=E(eiuX)，i＝ 例1 二项分布 X～B(n,p) 特征函数： 例2 泊松分布 X～?(?) 特征函数： 例3 (负)指数分布 特征函数： 例4 k阶爱尔朗分布 X～Ek 特征函数： 特征函数的性质 ?X(0)＝1； ?X(u)≤?X(0)； ?X(u)＝?X(-u)； 特征函数的性质 (逆转公式或反演公式)设随机变量X的分布函数为F(x)，