计数原理1.3.2杨辉三角和二项式系数的性质幻灯片.pptVIP

1.3.2杨辉三角和二项式系数性质 杨辉三角 《九章算术》 杨辉 杨辉三角 《详解九章算法》中记载的表 1．“杨辉三角”的来历及规律 杨辉三角 展开式中的二项式系数，当时，如下表所示： 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 杨辉三角 点击图片可以演示“杨辉三角”课件 二项式系数的性质 展开式的二项式系数依次是： 从函数角度看， 可看成是以r为自变量的函数 ,其定义域是： 当 时，其图象是右图中的7个孤立点． 二项式系数的性质 2．二项式系数的性质 （1）对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等． 这一性质可直接由公式 得到． 图象的对称轴： 二项式系数的性质 （2）增减性与最大值 由于： 所以 相对于 的增减情况由 决定． 二项式系数的性质 （2）增减性与最大值 由： 二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。 可知，当 时， 二项式系数的性质 （2）增减性与最大值 因此，当n为偶数时，中间一项的二项式 系数 取得最大值； 当n为奇数时，中间两项的二项式系数 、 相等，且同时取得最大值。 （3）各二项式系数的和 二项式系数的性质 在二项式定理中，令 ，则： 这就是说， 的展开式的各二项式系数的和等于： 同时由于 ，上式还可以写成： 这是组合总数公式． 例1 证明在 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和． 4项的二项式系数是倒数第2项的二项式系数的7倍，求展开式中x的一次项． 例2 已知 的展开式中，第 二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。 内容小结