计算方法7课件幻灯片.ppt

划分网格时，如果相应的网格节点恰好落在边界 上，则只要直接把位函数 的值赋给该对应的边界节点 即可。 划分网格时，如果相应的网格节点不落在边界 上，如下图所示： （1）直接转移 （2）线性插值 对于邻近边界的典型节点 ，由于这 ，这样， 点及其周围相邻的1、2、3和4点构成了一个不对称的星形。 下面以线性插值法为基础，导出关于 点的差分计算格式： 7.3 典型算例 设有一长直接地金属槽，其侧壁与底面电位均为零，顶盖电位的相对值为10，对于此槽中间区段的电场分析，可理想化为二维场问题，选定直角坐标系如下图所示： 槽内电位函数 满足拉普拉斯方程，即： 根据有限差分法的计算步骤，本例解题过程如下： (2). 给出边界条件：由于边界网格节点恰好落在边界上， 因此： (1). 离散化场域：在该金属槽内用正方形网格进行粗略的划分，选步距 ， 方向的等份数均为4 ，其网格节点分布如下图所示： (3). 给定初值：取零值作为场域内节点的初值。 (4). 给出内节点的差分方程： (5). 给出终止条件：当网格内节点相邻两次迭代近似值之差的绝对值小于精度要求时，终止迭代。 开 始 给定边值 填写域内 的初值 以差分方程为基础进行一次迭代，求出所有内节点 的值 所有内点相邻两次迭代差的绝对值小于精度要求？ 否 输出结果，结束 是 第七章 偏微分方程数值解法 7.1 差分方法的基本概念 1.补充知识 “高数”中接触了一些简单偏微分，也接触了简单偏微分方程，如： (1). 其中 (2). 满足： ( 3). 2sin(x+2y-3z)=x+2y-3z 满足： (4). 满足： (5). 满足： (6). 满足： 上面是已知函数: ，验证满足等式，反过来，将等式视为方程，则是求解方程，得到解函数。 因此偏微分方程： (1). 含偏微分的等式， (2). 求解偏微分方程、求含多个自变量的函数 (3). 带有初值、边界条件。 常微分方程的求解已很困难，通过分门别类研究，能求得一些特殊类型方程的解（只含一个变量），即便是一阶方程，也很难求出解析解表达式，也因此，在上一章我们研究了一阶微分方程的数值解法。 要求解偏微分方程比求解常微分方程更难，因此寻求偏微分方程的数值解更显重要，实际上，绝大部分偏微分方程不可能求到解析函数解，基本上都是数值解法。 2.偏微分方程定解问题 一般来说，偏微分方程从实际问题抽出后，多是下列几种类型: （1）泊松方程（Poisson），又称为椭圆型方程： ?：自变量的变化区域，有界区域。 ?：? 的边界，分段光滑曲线。 当 称为拉普拉斯方程（Laplace）或调和方程， 例如 满足： 相应第一边值条件： 第二、第三边值条件： 为边界?的外法线方向， 为第二边界条件， 为第三边界条件。 各种物理性质的定长问题（不随时间变化过程），都可用椭圆型方程描述。如带有稳定热源或内部无热源的稳定场的温度分布，不可压缩流体的稳定克旋流动及静电场的电热等均满足上述方程。 （2）热传导方程（抛物型） 相应有：柯西（Cauchy）初值条件： 初边值条件为： 第一边值条件： 第二 边值 条件： 第三边值条件为： 在热传导过程的研究中，气体的扩散现象及电磁场的传播等随时间变化的非定常物理问题，都可用上述方程来描述。 （3） 波动方程（双曲型） 最简单形式为线性双曲方程： 其初边值 条件为： 边值条件同热传导方程。 物理中常见的一维振动及各类波动问题，均可用波动方程描述。 3 有限差分法的基本概念 被称为函数 的差分(一阶差分)。 差分与微分是不同的，因为差分是有限量的差，故通常也被称为有限差分。但是，只要增量 很小，差分 与微分 之间的差异将很小。 根据差分的定义，在差分运算中还经常用到一阶中心差分：