计算方法chap1-Interpolation幻灯片.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 积分2次 由 有 计算过程如下 Home Work 推导三次样条函数插值在周期边界条件下的m和M关系式的边界条件 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 由归纳： Newton插值构造 1、先构造差商表 例子 2点Newton型插值 2、利用差商表的最外一行，构造插值多项式 差商表 求值 算法： for(i=1;i=n;i++) { for(j=n;j=i;j--) y[j]=(y[j]-y[j-1])/(x[j]-x[j-i]); } fx=y[n]; for(i=n;i=1;i--) { fx=y[i-1]+(x-x[i-1])y[i-1]; } 问题：如果要做到增加一个点，而尽可能减少重复计算，要如何改进前面的算法？ 一些性质 性质2 误差 性质3 差商性质总结 证明作为作业 1.4 Hermite插值 有时候，构造插值函数除了函数值的条件以外，还需要一定的 连续性条件，如一阶导数值等，这种插值称为Hermite插值。 称为二重密切Hermite插值 例：设 x0 ? x1 ? x2, 已知 f(x0)、 f(x1)、 f(x2) 和 f ’(x1), 求多项式 P(x) 满足 P(xi) = f (xi)，i = 0, 1, 2，且 P’(x1) = f ’(x1), 并估计误差。 模仿 Lagrange 多项式的思想，设 解：首先，P 的阶数 = 3 ? + = 2 1 3 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( = 0 i i i x h x1 f ’ x h x f x P ? h0(x) 有根 x1, x2，且 h0’(x1) = 0 ? x1 是重根。 ) ( ) ( ) ( 2 2 1 0 0 x x x x C x h - - = 又: h0(x0) = 1 ? C0 h2(x) 与h0(x) 完全类似。 其中 hi(xj) = ?ij , hi’(x1) = 0, (xi) = 0, ’(x1) = 1 ? h1 ? h1 h1(x) 有根 x0, x2 ? ) )( )( ( ) ( 2 0 1 x x x x B Ax x h - - + = 由余下条件 h1(x1) = 1 和 h1’(x1) = 0 可解。 (x) ? h1 有根 x0, x1, x2 ? ? h1 ) )( )( ( ) ( 2 1 0 1 x x x x x x C x - - - = ? h1 又: ’(x1) = 1 ? C1 可解。 与 Lagrange 分析完全类似 仿照Lagrange插值的做法，首先确定多项式插值空间的维数， 注意到，我们的条件共有2(n+1)个条件，所以，最高次数为2n+1 对二重密切Hermite插值 整个构造步骤如下： 1、确定多项式的最高项次数，就是函数空间的维数 2、假设一组基函数，列出插值多项式 3、列出基函数满足的公式（画表），求基函数 称为 构造基函数方法 误差分析 类似Lagrange插值的分析方法 二重密切Hermite插值误差 Home Work 例：在[?5, 5]上考察 的Ln(x)。取 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 - 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 n 越大， 端点附近抖动 越大 Ln(x) ? f (x) ? 是否次数越高越好呢？ 分段低阶插值 Runge现象 例： 等距节点构造10次Lagrange插值多项式 -0.90 0.04706 1.57872 -0.70 0.07547 -0.22620 -0.50 0.13793 0.25376 -0.30 0.30769 0.23535 1901年，Runge 等距高次插值，数值稳定性差，本身是病态的。 分段线性插值 每个小区间上，作线性插值 (1) (2) 在每个小区间上为一个不高于1次的多项式 特性 误差 可以看出 收敛，可惜只一阶精度，不够光滑。 类似，可以作二重密切Hermite插值 关键： 分段、低阶插值 三次样条插值 分段低阶插值，收敛性好，但光滑性不够理想。在工业设计中， 对曲线光滑性要求高，如：流线型 设想这样一曲线：插值，次数不高于3次，整个曲线2阶连续导 数，称为三次样条函数插值。 每个小