计算方法chap2-Difference幻灯片.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * ? Gauss 公式的余项： /* 设P为f 的过x0 … xn的插值多项式 */ /*只要P 的阶数不大于2n+1，则下一步等式成立*/ 插值多项式的余项 Q：什么样的插值多项式在 x0 … xn 上有 2n+1 阶？ A：Hermite 多项式！ 满足 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 由均值定理知 可以看出，复化梯形公式是收敛的。 如果节点不等距，还可以做复化积分吗？怎么处理？ 误差 做等距节点， 复化Simpson公式 由均值定理知 可以看出，复化Simpson公式是收敛的。 定义 　　 若一个积分公式的误差满足 且C ? 0，则称该公式是 p 阶收敛的。 ~ ~ ~ 例：计算 解： 其中 = 3.138988494 其中 = 3.141592502 运算量基本相同 函数变化有急有缓，为了照顾变化剧烈部分的误差，我们需要加密格点。对于变化缓慢的部分，加密格点会造成计算的浪费。以此我们介绍一种算法，可以自动在变化剧烈的地方加密格点计算，而变化缓慢的地方，则取稀疏的格点。 积分的自适应计算 ①先看看事后误差估计 以复化梯形公式为例 n等分区间 2n等分区间 近似有： 类似，复化Simpson公式 ②自适应计算 记 为复化一次，2次的Simpson公式 控制 求 是 由前面的事后误差估计式， 则， 这启发我们，可以用低阶的公式组合后成为一个高阶的公式。 类似， Romberg积分 记 为以步长为h的某数值积分公式，有 有如下的Euler-Maclaurin定理 若 为2m阶公式，则 Romberg 积分就是不断地用如上定理组合低阶公 式为高阶公式，进而计算积分 ? Romberg 算法： ? ? ? ? ? ? … … … … … … ? T1 = ) 0 ( 0 T ? T8 = ) 3 ( 0 T ? T4 = ) 2 ( 0 T ? T2 = ) 1 ( 0 T ? S1 = ) 0 ( 1 T ? R1 = ) 0 ( 3 T ? S2 = ) 1 ( 1 T ? C1 = ) 0 ( 2 T ? C2 = ) 1 ( 2 T ? S4 = ) 2 ( 1 T Lab03 复化积分 1.分别编写用复化Simpson积分公式和复化梯形积  分公式计算积分的通用程序 2.用如上程序计算积分 取节点{xi , i=0,…N}，N 为 {2k,k=0,1,…,12} ，并估计误差 3.简单分析你得到的数据 重积分的计算 在微积分中，二重积分的计算是用化为累次积分的方法进行的。计算二重数值积分也同样采用累次积分的计算过程。简化起见，我们仅讨论矩形区域上的二重积分。对非矩形区域的积分，大多可以变化为矩形区域上的累次积分。 a,b,c,d 为常数，f 在D 上连续。将它变为化累次积分 首先来看看复化梯形公式的二重推广 做等距节点，x轴，y轴分别有： 先计算 ，将x作为常数，有 再将y作为常数，在x方向，计算上式的每一项的积分 二重积分的复化梯形公式 系数，在积分区域的四个角点为1/4，4个边界为1/2，内部节点为1 误差 类似前面有： 记 二重积分的复化Simpson公式 做等距节点，x轴，y轴分别有： m，n为偶数 误差 Gauss型积分公式 Newton-Cote’s 积分公式，可以知道n为偶数时，n+1个点数值积分公式有n+1阶精度。是否有更高的代数精度呢？n个点的数值积分公式，最高可以到多少代数精度？本节会解决这个问题。 例：在两点数值积分公式中，如果积分点也作为未知量，则有4个未知量，可以列出4个方程： （以f(x)在[-1,1]为例） 可解出： 数值积分公式 具有3阶代数精 度，比梯形公式 1阶代数精度高 证明： 取 易知： 也就是说，数值积分公式，对一个2n+2阶的多项式是有误差的， 所以，n+1个点的数值积分公式不超过2n+1阶 n 个积分点的数值积分公式，最高2n－1阶 定理 如何构造最高阶精度的公式？ 一般性，考虑积分： 称为权函数 定义两个可积函数的内积为： 两个函数正交，就是指这两个函数的内积为0 利用Schmidt 正交化过程， 变为正交基 就可以将多项式基函数 以n阶正交多项式的n个零点为积分点的数值积分公式有2n－1阶的代数精度 Gauss点 Gauss积分，记为Gn(f) 证明： 若 f 为