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第4章 非线性方程求根 非线性科学是当今科学发展的一个重要研究方向，而非线性方程的求根也成了一个不可缺的内容。但是，非线性方程的求根非常复杂。 通常非线性方程的根的情况非常复杂： 无穷组解 无解 一个解 两个解 四个解 所以，只在某个区域内可能解存在唯一，而且经常很简单的形式得不到精确解： 因此，通常我们用迭代法解非线性方程 看迭代法之前，先看看一种简单直观的方法 原理： 4.1对分法 a b x1 x2 a b 什么时候停止？ 或 x* While(|a-b|eps) x=(a+b)/2 f(x) 若(|f(x)|eps) x为解 若f(x)*f(b)0 修正区间为[x,b] 若f(a)*f(x)0 修正区间为[a,x] End while 每次缩小一倍的区间，收敛速度为1/2，较慢，且只能求一个根，使用条件限制较大 算法 ?2 x x* 不能保证 x 的精度 4.2 迭代法 f (x) = 0 x = g (x) 等价变换 f (x) 的根 g (x) 的不动点 思路 从一个初值 x0 出发，计算 x1 = g(x0), x2 = g(x1), …, xk+1 = g(xk), … 若 收敛，即存在 x* 使得 ，且 g 连续，则由 可知 x* = g(x* )，即x* 是 g 的不动点，也就是f 的根。 迭代法的基本步骤如下： 1、给出方程的局部等价形式 2、取合适的初值，产生迭代序列 3、求极限 易知，该值为方程的根 一定收敛吗？ x y y = x x* y=g(x) x0 p0 x1 p1 ? x y y = x x* y=g(x) x0 p0 x1 p1 ? 若满足： 1、 2、 可导，且存在正数L1，使得对任意的x，有 则有： 1、存在唯一的点 2、 迭代收敛，且有误差估计 定理 ①存在唯一性 ② 做辅助函数 ，则有 所以，存在点 若 ，则有： 又， 则 所以，任意的初值都收敛 证明： ③误差估计 由p的任意性，令 证毕 构造满足定理条件的等价形式一般难于做到。要构造收敛迭代格式有两个要素： 1、等价形式 2、初值选取 下面我们开始介绍若干种迭代法的构造方法 4.3 Newton迭代法 将f(x)在初值处作Taylor展开 取线性部分作为f(x)的近似，有： 若 ，则有 记为 类似，我们可以得到 x y x* x0 这样一直下去，我们可以得到迭代序列 Newton迭代的等价方程为： 所以 若f(x)在a处为单根，则 所以，迭代格式收敛 收敛速度 函数在a处作Taylor展开 若a为p重根，取迭代格式为： 即 Newton迭代收敛速度快，格式简单，应用广泛 例 用Newton迭代法求方程xex-1=0在0.5附近的根,精度要求?=10-5. 解 Newton迭代格式为 k xk ?(xk) |xk-xk-1| 0 1 2 3 4 0.5 0000-0000.0000000003 0.0000000003 0000注：Newton’s Method 收敛性依赖于x0 的选取。 x* x0 ? x0 ? x0 4.4 弦截法 将Newton迭代中的导数，用差商代替，有格式 是2步格式。收敛速度比Newton迭代慢 x0 x1 切线 割线 定义 　　　设迭代 xk+1 = g(xk) 收敛到g(x) 的不动点 x*。 设 ek = xk ? x*，若　　　　　　　，则称该迭代为p 阶收敛，其中 C 称为渐进误差常数。 迭代：xk+1=xk(xk2+3a)/(3xk2+a),k=0,1,2,…是求 的三阶方法. ,则有: ?=?(?2+3a)/(3?2+a) 故 ?2=a , 即 4.4 非线性方程组的Newton迭代法 则，直接推广Newton迭代为： 实际中，用解方程组的形式 Lab04 非线性方程求根 1.分别编写用Newton迭代和弦截法求根的通用程序 2.用如上程序求根 取初值x0 为 0.1,0.2,0.9,9.0 3.简单分析你得到的数据