计算方法第2次课new计算方法插值幻灯片.ppt

* 计算方法2 插值法 航空科学与工程学院 * 需要解决的问题类型(基本内容)： 代数方程求根； 微分(方程)求解； 积分(方程)求解； 数值预测。 插值方法 * 问题的提出 各种典型问题及对应的算法 插值方法 * 2.0 引言 典型问题的回顾 设已知数据对(xi，yi)(i=0, 1, … , n)，构造n次多项式  使得Pn(xi)= yi 。 如何确定待定系数ai？ 插值方法 * 线性方程组的解法——《线性代数》 问题： 计算量大； 效率低——新增加一个或多个数据对？ 寻求另一种方法 插值方法 解的唯一性。 * 一个特例 设已知数据对(x0，y0)、(x1，y1)，构造？次多项式  使得P1(xi)= yi 。  插值方法 * 又一特例 设已知数据对(xi，yi)(i=0, 1, 2)，构造？次多项式  使得P2(xi)= yi 。 插值方法 * 递推 设已知数据对(xi，yi)(i=0, 1, … , n)，构造n次多项式  使得Pn(xi)= yi 。 插值问题中的一个非常典型的问题 插值方法 * 2.1 问题的提出(数值预测) 计算函数值 Q：函数关系复杂，没有解析表达式，或者函数形式未知。 常见的有：由观测数据(离散数据)计算未观测到的点的函数值。 ——由观测数据构造一个适当的简单函数近似的代替要寻求的函数——插值法。 插值方法 * x P* 3.01 0.999 3.015 ? 3.02 0.9993 3.03 0.9995 3.04 0.9997 3.05 0.9998 3.06 0.9998 3.07 0.9999 3.08 0.9999 3.09 1 插值方法 * 插值需要满足的条件 插值方法 满足已知条件。 近似函数； 精度高； 简单。 * 2.2 几类典型问题 几类典型问题： 问题1：设函数y=f(x)定义域为[a，b]，x0，x1，…，xn是[a，b]上的n+1个互异点，且yi=f(xi)已知，要构造一个函数P(x)，使得P(xi)=yi(i=0,1, … ,n)。——第1类 问题2：求做n次多项式Pn(x)，使满足条件： 为一组已给数据。——第2类 问题3：=问题1+问题2：即过给定点，也要求导数相同。——第3类 问题4：不过节点——第4类。 插值方法 * 2.3 问题12.3.1 基本概念 问题1： 设函数y=f(x)定义域为[a，b]，x0，x1，…，xn是[a，b]上的n+1个互异点，且yi=f(xi)已知，要构造一个简单函数P(x)，使得P(xi)=yi(i=0,1, … ,n)。 误差函数(余项)： R(x)=f(x)-P(x)； 要求|R(x)|在[a，b]上比较小，即P(x)较好地逼近f(x)。 插值方法 * 点x0，x1，…，xn为插值节点，简称节点； [a，b]为插值区间； f(x)为求插函数；P(x)为插值函数；R(x)为插值公式的余项； f(x)=P(x)+R(x)为(带余项的)插值公式。 插值方法 * 依据(xi，yi)构造出插值函数P(x)，然后在任意点x计算P(x)作为f(x)的近似值——插值； 点x为插值点； 内插——插值点位于插值区间内的插值过程； 外插——插值点位于插值区间外的插值过程，也叫外推。 插值方法 * 要求： 效率高 精度高 插值函数形式简单——多项式、有理分式。 代数插值法——g(x)=Pn(x)，为插值多项式 Lagrange插值公式 Aitken插值公式 Newton插值