船舶板壳力学2弹性力学平面问题课件幻灯片.pptVIP

利用平衡微分方程消去剪应力 （相容方程） 按应力求解平面问题： 需满足平衡微分方程和相容方程，以及应力边界条件。 不易处理边界条件问题和混合边界问题 。 2.6 常体力情况下的简化 常体力下，两种平面问题的相容方程都简化为： 常体力下， 应当满足拉普拉斯微分方程（调和方程）。 应当是调和函数。 用记号 代表 ，上式简写为： 结论 在单连体的应力边界问题中，如果两个弹性体具有相同的边界形状，并受到同样分布的外力，那么，不管这两个弹性体的材料是否相同，也不管它们是在平面应力情况下或是在平面应变情况下，应力分量 、 、 的分布是相同的。 推论2 在用实验方法测量结构或构件的上述应力分量时，可以用便于量测的材料来制造模型，以代替原来不便于量测的结构或构件材料；还可以用平面应力情况下的薄板模型，来代替平面应变情况下的长柱形的结构或构件。 推论3 常体力的情况下，对于单连体的应力边界问题，还可以把体力的作用改换为面力的作用，以便于解答问题和实验量测。 推论1 针对任一物体而求出的应力分量 、 、 ，也适用于具有同样边界并受有同样外力的其它材料的物体；针对平面应力问题而求出的这些应力分量，也适用于边界相同、外力相同的平面应变情况下的物体。 2.7 应力函数 按应力求解应力边界问题时，在体力为常量的情况下，应力分量 、 、 应当满足平衡微分方程： （a） 以及相容方程 （b） 方程（a）的解包含两部分：任意一个特解和下列齐次微分方程的通解。 将齐次微分方程（c）中前一个方程改写为： 根据微分方程理论，一定存在某一个函数 ，使得： （c） 特解取为： （d） （e） （f） 同样将（c）中的第二个方程改写为： 也一定存在某一个函数 ，使得： （g） （h） 由式（f）及（h）得： 因而一定存在某一个函数 ，使得： （i） （j） 将式（i）代入（e），式（j）代入（g），并将式（i）代入（f），即得通解： （k） 将通解（k）与特解（d）叠加，即得微分方程（a）的全解： 函数 称为平面问题的应力函数，也称为艾瑞应力函数。 （1） 为了应力分量（1）同时也能满足相容方程（b），将（1）代入式（b），即得： 上式可简化为： 进一步简化为： 或者展开为： （2） 按应力求解应力边界问题时，如果体力是常量，就只须由微分方程（2）求解应力函数 ，然后用公式（1）求出应力分量，但这些应力分量在边界上应当满足应力边界条件。 2.8 逆解法与半逆解法 逆解法：先设定各种形式的、满足相容方程（2）的应力函 数 ，用公式（1）求出应力分量，然后根据应力边界条件来考察，在各种形状的弹性体上，这些应力分量对应于什么样的面力，从而得知所设定的应力函数可以解决什么问题。 （1） （2） 逆解法基本步骤： 设定 求出 应力分量 求出 面力（合力） 解决 什么问题 代入 代入 式（l） 应力边界条件 确定 半逆解法：针对所要求解的问题，根据弹性体的边界形状和受力情况，假设部分或全部应力分量为某种形式的函数，从而推出应力函数 ，然后来考察，这个应力函数是否满足相容方程，以及，原来所假设的应力分量和由这个应力函数求出的其余应力分量，是否满足应力边界条件和位移单值条件。如果相容方程和各方面的条件都能满足，自然就得出正确的解答；如果某一方面不能满足，就要另作假设，重新考察。 半逆解法基本步骤： 设定 导出 应力表达式 得到 正确解答 满足 边界条件 满足 是 是 否 否 式（l） 应力边 界条件 §2 平面问题的基本理论 一般的弹性力学问题均为空间问题。 空间问题 平面问题 简化为 在某些情况下，考虑到物体的 形状特征 受力情况 约束条件 2.1 平面应力问题与平面应变问题 （1）平面应力 长、宽尺寸远大于厚度。 特点： 在该板平面内受力，即体 力和面力平行于板面作用 。 外力沿板的厚度 h 没有变化 。 平面应力 h 板的两侧面是自由表面，即 时 由于板很薄，外力又不沿板的厚度变化，因此可以认为在整个薄板的所有点都有 待定的应力分量只剩下同一平面内的 、 和 ，所有分量不随 z 变化，只是 x、y 的函数，这便是平面应力问题。 (a) (b) （2）平面应变 z z x 等截面长柱形，沿 z 方向无限伸长 。 特点： 外力垂直于长度方向，且沿 z 方向保持不变。 各截面上的应力、应变和位移分量都是相同的，与 z 坐标无